2019年中考数学专题复习阅读创新型考点剖析

中考数学阅读创新型考题复习要点剖析阅读创新型考题，是中考的创新题型之一，它要求在阅读过程中，必须认真感知阅读材料中的有关数学符号，图形符号，公式，定义等，理解每个数学术语，在阅读中自然语言与数学语言转换拼盘，是一个内部语言转化的过程，最终要用自己的语言来理解新认知的数学定义或定理或公式，继而对新知识进行同化和顺应，在数学阅读过程中，数学材料主要以归纳和演绎的方式呈现，有时以新定义的方式呈现，具有一定的严谨性，因此阅读者要求有严密的逻辑思维能力，记忆、理解、抽象、分析、归纳、类比、联想、迁移等思维活动都充分协调调动，才能实现好的阅读效果.二、典型例题1.三角函数型阅读问题例1 （2018贵阳）如图1，在RtABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：因为sinA=，sinB=，所以c=，c=，所以=.根据你掌握的三角函数知识在图2的锐角ABC中，探究、之间的关系，并写出探究过程解法1 ：三者的关系如下：=.理由为：过A作ADBC，BEAC，在RtABE中，sinA=,所以BE=csinA；在RtBEC中，sinC=,所以BE=asinC；所以csinA= asinC，所以=.同理可得，=，所以=.点评：阅读内容展示了两个重要信息：必须构造出直角三角形，会用不同的表达式表示同一个量.构造一边上的高，并在不同的直角三角形中表示同一条高成为解题的关键.解法2 ：三者的关系如下：=.理由为：如图3，作ABC的外接圆，并作直径AE、BD，连接AD,CD,CE，则BAD, BCD, ACE都是直角，在RtABD中，sinBDA=,所以BD=,因为BDA=BCA,所以BD=；同理可得，BD=,AE=；因为同圆的直径相等，所以所以=. 点评：构造三角形的外接圆，借助直径上的圆周角是直角构造直角三角形，利用同弧上的圆周角相等，将ABC C的三个内角迁移到直角三角形，为三角函数的使用创造了条件，利用同圆的直径相等，实现了结论的证明，这也是证明的好方法，值得推广.解法3 ：三者的关系如下：=.理由为：如图2，过B作BEAC，在RtABE中，sinA=,所以BE=csinA,设ABC的面积为S，则S=ACBE=bcsinA；同理可证，S=absinC =acsinB；所以bcsinA=absinC =acsinB，同除以abc，得，所以=.点评：通过构造高构造直角三角形，借助同一个三角形的面积相等，把不同的面积表示法建立起等式，为证明奠定基础，同除以abc和求倒数成为解题的两个关键细节，值得掌握.2.新定义几何图形型阅读问题例2 （2018年浙江宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形（1）已知4，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC， BAC=ADC求证：ABC是比例三角形； （3）如图5，在（2）的条件下，当ADC=90时，求 的值. 解析：（1）设AC=x，当=3x时，x=；当=2x时，x=；当=32时，x=；（2）证明：因为ADBC，所以ACB =CAD，因为BAC=ADC，所以ABCDCA，所以 即=BCAD，因为ADBC，所以ADB=CBD，因为BD平分ABC，所以ABD=CBD，所以ADB=ABD，所以AB=AD，所以=BCAB，所以ABC是比例三角形.（3）解：如图5，过点A作AHBD于点H,因为AB=AD,所以BH=BD,所以ADBC，ADC=90,所以BHA=BCD=90,又因为ABH=DBC,所以ABHDBC,所以 ,所以ABBC=DBBH,所以ABBC= ,因为ABBC=,所以 =,所以=. 评注：注重数学思想的渗透，这里主要体现了分类的思想，解答时，要根据新定义和所求结论来选择解题思想和解题方法，使得解答不漏不重；第二问的解答，相似是基础，新定义的意义是根本，以相似为解题出发点，以新定义的内涵为解题目标，整合梳理即可得证；第三问是前两问的直接应用，这也体现了问题的呈现层次，展示了解题的顺序，体现了解题要步步为营的求解策略.3. 介绍新法型阅读问题例3 （2018年随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.化为分数形式，由于0. =0.777，设x=0.777则10x=7.777，得9x=7，解得x=，于是得0. =同理可得0. = =，1. =1+0. =1+=根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0. =，5. =；（2）将0. 化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0. 1= ，2.0= ；（注：0. 1=0.315315，2.0=2.01818）【探索发现】（4）试比较0.与1的大小：0. 1（填“”、“”或“=”）若已知0. 8571=，则3. 1428= （注：0. 857l=0.285714285714）解：（1）由题意知0. =、5. =5+=，（2）0. =0.232323，设x=0.232323，则100x=23.2323，得：99x=23，解得：x=，0. =；（3）同理0. 1=，2.0=2+=.所以答案为：，.（4）0. = =1故答案为：=；3. 1428.=3+=3+=.故答案为：.点评：数学学习的四大关键：知识点的学习，数学方法的学习，数学思想的学习，数学应用能力的培养.数学方法走进考场，是一个必然，也是一个新趋势.考点就是一面旗帜，是一个导向，是学习一个方向，因此在常态的数学学习过程中，要夯实数学知识基础，掌握数学方法策略，筑牢数学思想灵魂，培养数学应用能力，让自己成为一名真正的数学强者.4.方案型阅读问题例4 （2018衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图6所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程方案二：方案三：【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决【解答】解：由题意可得，方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，方案三：a2+=a2+2ab+b2=（a+b）25.解题步骤阅读型问题例5 （2018吉林）某同学化简a（a+2b）（a+b）（ab）出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab（a2b2） （第一步）=a2+2aba2b2（第二步）=2abb2 （第三步）（1）该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；（2）写出此题正确的解答过程【分析】先计算乘法，然后计算减法【解答】解：（1）该同学解答过程从第 二步开始出错，错误原因是 去括号时没有变号；故答案是：二；去括号时没有变号；（2）原式=a2+2ab（a2b2）=a2+2aba2+b2=2ab+b26.数学史型阅读问题例6（2018自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（JNplcr，15501617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，17071783年）才发现指数与对数之间的联系对数的定义：一般地，若ax=N（a0，a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（MN）=logaM+logaN（a0，a1，M0，N0）；理由如下：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=anMN=aman=am+n，由对数的定义得m+n=loga（MN）又m+n=logaM+logaNloga（MN）=logaM+logaN解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式3=log464；（2）证明loga=logaMlogaN（a0，a1，M0，N0）（3）拓展运用：计算log32+log36log34=1【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；（2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：loga（MN）=logaM+logaN和loga=logaMlogaN的逆用，将所求式子表示为：log3（264），计算可得结论【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，故答案为：3=log464；（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，=amn，由对数的定义得mn=loga，又mn=logaMlogaN，loga=logaMlogaN（a0，a1，M0，N0）；（3）log32+log36log34，=log3（264），=log33，=1，故答案为：17. 填空型阅读问题例7（2018临安区）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状解：a2c2b2c2=a4b4 （A）c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2） （B）c2=a2+b2 （C）ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：C；（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况；（3）本题正确的结论为：ABC是等腰三角形或直角三角形【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C，故答案为：C；（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，故答案为：没有考虑a=b的情况；（3）本题正确的结论为：ABC是等腰三角形或直角三角形，故答案为：ABC是等腰三角形或直角三角形8.寻找规律型阅读问题例8（2018滨州）观察下列各式：=1+，=1+，=1+，请利用你所发现的规律，计算+，其结果为9【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案【解答】解：由题意可得：+=1+1+1+1+=9+（1+）=9+=9故答案为：99.公式推荐型阅读问题例9 （2018枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=现已知ABC的三边长分别为1，2，则ABC的面积为1【分析】根据题目中的面积公式可以求得ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题【解答】解：S=，ABC的三边长分别为1，2，则ABC的面积为：S=1，故答案为：110.介绍新知识型阅读问题例10（2018年常德）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为22阶行列式，并且规定：=adbc，例如： =3（2）2（1）=6+2=4二元一次方程组的解可以利用22阶行列式表示为：；其中D=，=，=问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（）AD=7 B=14 C=27 D方程组的解为分析：根据行列式的定义，分别计算D=，=，=可得结论解：因为D=7，所以选项A正确；=2112=14，所以选项B正确；=21213=21，所以选项C不正确；方程组的解：即，所以选项D正确；所以选C点评：理解行列式的意义是解题的关键.这种先阅读后应用的考题方式是一种创新学习方式即自主学习，是数学学习的有效方式之一，值得推广.11.定义新运算型阅读问题例11（2018年江苏扬州）对于任意实数a、b，定义关于“”的一种运算如下：ab=2a+b.例如34=23+4=10.（1）求2(-5)的值；（2）若xy=2，且2yx=-1，求x+y的值.分析：理解新运算的意义，利用新运算转化为二元一次方程组问题求解即可.解：（1）2(-5)= 22+（-5）=-1；（2）根据新定义得，解得：，所以x+y=.点评：利用新运算把陌生知识点问题转化成熟悉的二元一次方程组问题是解题的关键.12.定义新概念型阅读问题例12 （2018内江）对于三个数a，b，c，用Ma，b，c表示这三个数的中位数，用maxa，b，c表示这三个数中最大数，例如：M2，1，0=1，max2，1，0=0，max2，1，a=解决问题：（1）填空：Msin45，cos60，tan60=，如果max3，53x，2x6=3，则x的取值范围为；（2）如果2M2，x+2，x+4=max2，x+2，x+4，求x的值；（3）如果M9，x2，3x2=max9，x2，3x2，求x的值【分析】（1）根据定义写出sin45，cos60，tan60的值，确定其中位数；根据maxa，b，c表示这三个数中最大数，对于max3，53x，2x6=3，可得不等式组：则，可得结论；（2）根据新定义和已知分情况讨论：2最大时，x+42时，2是中间的数时，x+22x+4，2最小时，x+22，分别解出即可；（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x2，画出图象，根据M9，x2，3x2=max9，x2，3x2，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论【解答】解：（1）sin45=，cos60=，tan60=，Msin45，cos60，tan60=，max3，53x，2x6=3，则，x的取值范围为：，故答案为：，；（2）2M2，x+2，x+4=max2，x+2，x+4，分三种情况：当x+42时，即x2，原等式变为：2（x+4）=2，x=3，x+22x+4时，即2x0，原等式变为：22=x+4，x=0，当x+22时，即x0，原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0，综上所述，x的值为3或0；（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x2，画出图象，如图所示：结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M9，x2，3x2=max9，x2，3x2=yA=yB，此时x2=9，解得x=3或3例13（2018娄底）已知：x表示不超过x的最大整数例：3.9=3，1.8=2令关于k的函数f（k）=（k是正整数）例：f（3）=1则下列结论错误的是（）Af（1）=0Bf（k+4）=f（k）Cf（k+1）f（k）Df（k）=0或1【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题【解答】解：f（1）=00=0，故选项A正确；f（k+4）=+1+1=f（k），故选项B正确；C、当k=3时，f（3+1）=11=0，而f（3）=1，故选项C错误；D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；故选：C13.例题变式型阅读问题例14（2018绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，A=110，求B的度数（答案：35）例2 等腰三角形ABC中，A=40，求B的度数，（答案：40或70或100）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC中，A=80，求B的度数（1）请你解答以上的变式题（2）解（1）后，小敏发现，A的度数不同，得到B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设A=x，当B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围解析：（1）若A为顶角，则B=（180A）2=50；若A为底角，B为顶角，则B=180280=20；若A为底角，B为底角，则B=80；所以B=50或20或80；（2）分两种情况：当90x180时，A只能为顶角，所以B的度数只有一个；当0x90时，若A为顶角，则B=（）；若A为底角，B为顶角，则B=（1802x）；若A为底角，B为底角，则B=x当1802x且1802xx且x，即x60时，B有三个不同的度数综上所述，可知当0x90且x60时，B有三个不同的度数16