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第四章 三角函数及三角恒等变换第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换第一部分 三年高考荟萃 2010年高考题一、选择题1.（2010全国卷2理）（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.2.（2010陕西文）3.函数f (x)=2sinxcosx是(A)最小正周期为2的奇函数（B）最小正周期为2的偶函数(C)最小正周期为的奇函数（D）最小正周期为的偶函数【答案】C解析：本题考查三角函数的性质f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为的奇函数3.（2010辽宁文）（6）设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） （B） （C） （D） 3【答案】 C解析：选C.由已知，周期4.（2010辽宁理）（5）设0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） (B) (C) (D)3 【答案】C【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。【解析】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k1,故，所以选C5.（2010重庆文）（6）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（A） （B）（C） （D）【答案】 A解析：C、D中函数周期为2，所以错误 当时，函数为减函数而函数为增函数，所以选A6.（2010重庆理）（6）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则A. =1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = -解析： 由五点作图法知，= -7.（2010山东文）（10）观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（A） (B) (C) (D)【答案】D8.（2010四川理）（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A） （B） （C） （D）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin(x) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.【答案】C9.（2010天津文）（8）为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。由图像可知函数的周期为，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+).代入（-，0）可得的一个值为，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+)，即y=sin2(x+ )，所以只需将y=sinx（xR）的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求。三角函数图像进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的10.（2010福建文）11.（2010四川文）（7）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A） （B）（C） （D）【答案】C解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin(x) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.12.（2010湖北文）2.函数f(x)= 的最小正周期为A. B.xC.2D.4【答案】D【解析】由T=|=4，故D正确.13.（2010福建理）1的值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】原式=，故选A。【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。二、填空题1.（2010浙江理）（11）函数的最小正周期是_ .解析：故最小正周期为，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题2.（2010浙江文）（12）函数的最小正周期是 。答案 3.（2010福建文）16.观察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1可以推测，m n + p = 【答案】962【解析】因为所以；观察可得，所以m n + p =962。【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。4.（2010山东理）5.（2010福建理）14已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。【答案】【解析】由题意知，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。6.（2010江苏卷）10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_。解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为三、解答题1.（2010湖南文）16. （本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。2.（2010浙江理）（18）(本题满分l4分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=，J及0C得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=43.（2010江西理）17.（本小题满分12分）已知函数。(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；(2) 当时，求m的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当m=0时， ，由已知，得从而得：的值域为（2）化简得：当，得：，代入上式，m=-2.4.（2010浙江文）（18）（本题满分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积，满足。（）求角C的大小；（）求的最大值。5.（2010北京文）（15）（本小题共13分）已知函数（）求的值；（）求的最大值和最小值解：（）= （） 因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。6.（2010北京理）（15）（本小题共13分） 已知函数。（）求的值；（）求的最大值和最小值。解：（I） （II） = =, 因为， 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值7.（2010广东理）16、（本小题满分14分）已知函数在时取得最大值4(1)求的最小正周期；(2)求的解析式；(3)若(+)=,求sin，8.（2010广东文）9.（2010湖北文）16.（本小题满分12分）已经函数()函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。10.（2010湖南理）16（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最大值；（II）求函数的零点的集合。2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数是 A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 答案 A解析 因为为奇函数,所以选A.2.（2009全国卷理）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）A . B. C. D. 答案 C解析: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选C3.（2009全国卷理）若，则函数的最大值为 。答案 -8解析:令, 4.（2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )答案 D解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了5.（2009浙江文）已知是实数，则函数的图象不可能是（ ） 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度答案 D解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了6.(2009山东卷理)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D.答案 B解析 将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.来源:高&考%资(源#网KS5U.COM【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009山东卷文)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D. 答案 A解析 将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选A.【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.8.（2009安徽卷理）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 A. B. C. D. 答案 C解析 ，由题设的周期为，由得，故选C9.（2009安徽卷文）设函数，其中，则导数的取值范围是A. B. C. D. 答案 D解析 ，选D10.（2009江西卷文）函数的最小正周期为A B C D 答案：A解析 由可得最小正周期为,故选A.11.（2009江西卷理）若函数，则的最大值为A1 B C D答案：B解析 因为=当是，函数取得最大值为2. 故选B12.(2009湖北卷理)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于 答案 B解析 直接用代入法检验比较简单.或者设，根据定义，根据y是奇函数，对应求出，13.（2009全国卷理）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为A B. C. D. 解析：，又.故选D答案 D14.（2009福建卷理）函数最小值是 ( )A-1 B. C. D.1答案 B解析 .故选B15.（2009辽宁卷理）已知函数=Acos()的图象如图所示，则=( )A. B. C. D. 解析 由图象可得最小正周期为 于是f(0)f(),注意到与关于对称 所以f()f()答案 B16.（2009全国卷文）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为A. B. C. D. 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选A17.（2009湖北卷文）函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于A. B. C. D.答案 D解析 由平面向量平行规律可知，仅当时，：=为奇函数，故选D.18.(2009湖南卷理)将函数y=sinx的图象向左平移0 2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于 （D）A B C. D. 答案 D解析 由函数向左平移的单位得到的图象，由条件知函数可化为函数，易知比较各答案，只有，所以选D项19.（2009天津卷理）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。解析：由题知，所以，故选择A答案 A二、填空题20.（2009江苏卷）函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则= . 答案 3解析 考查三角函数的周期知识 ，所以， 21（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin（x+）（0, -0，且0B，sinB=. 2分由正弦定理得， 4分 . 6分(2) SABC=acsinB=4， 8分 ， c=5. 10分由余弦定理得b2=a2+c22accosB，.14分2.（2009聊城一模）设函数。 （1）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积。解（1） （2分） （4分）故函数的单调递减区间是。 （6分）（2）（理）当时，原函数的最大值与最小值的和 （8分）的图象与x轴正半轴的第一个交点为 （10分）所以的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积 （12分）3.（2009茂名一模）设函数将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象。（1）求函数的最小正周期；（2）若且是偶函数，求的值。解：4.（2009上海八校联考）已知函数.（1）求的最小正周期，并求的最小值；（2）若，且，求的值解：（1） =. 分 因此的最小正周期为,最小值为. 分 (2)由得=2，即， 而由，得. 分 故， 解得. 1分5.（2009闵行三中模拟）已知函数是R上的奇函数，且最小正周期为。 （1）求的值； （2）求取最小值时的x的集合。解：（1）函数最小正周期为，且，2分又是奇函数，且，由f(0)=0得5分 (2) 由(1)。6分所以，10分当时，g(x)取得最小值，此时，解得12分所以，取得最小值时的集合为14分6.（2009上海青浦区）已知为实数，函数，（） （1）若，试求的取值范围；（2）若，求函数的最小值（1）即，又，2分所以，从而的取值范围是 5分（2），令，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，8分由解得，所以当时，函数的最小值是； 11分下面求当时，函数的最小值当时，函数在上为减函数所以函数的最小值为当时，函数在上为减函数的证明：任取，因为，所以，由单调性的定义函数在上为减函数于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值 15分7.（2009日照一模）已知中，角的对边分别为，且满足。（I）求角的大小；（）设，求的最小值。解：（I）由于弦定理，有代入得。 4分即。 6分 7分 8分（）， 10分 由，得。 11分来源:高&考%资(源#网KS5U.COM所以，当时，取得最小值为0， 12分8.（2009汕头一模）己知函数f（x）sin x一cos x。 （1)若cosx，x，求函数f (x)的值； (2)将函数f(x)的图像向右平移m个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m，试求m的值。解：（1）因为cos，x，所以，sinx所以，（2），所以，把f（x）的图象向右平移个单位，得到，ysinx的图象，其图象关于原点对称。 故m9.（2009枣庄一模）已知函数 （1）求 （2）当的值域。解：（1） 2分 4分 6分 （2）根据正弦函数的图象可得：当时，取最大值1 8分当时 10分即 12分10.（2009深圳一模）已知函数来源:K（）求的最小正周期；（）设，求的值域和单调递增区间解：（）. 3分 的最小正周期为 5分（）， ， 的值域为 10分当递减时，递增，即 故的递增区间为 12分2009年联考题一、 选择题1.（2009福建省）为了得到函数y=的图象,可以将函数y=sin2x的图象( ) A.向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度B.向右平移个单位长度,再向上平移个单位长度C.向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度D.向右平移个单位长度,再向上平移个单位长度答案 D2.（2009厦门一中）把函数的图象适当变化就可以得到的图象，这个变化可以是（ ） A.沿x轴方向向右平移 B.沿x轴方向向左平移 C.沿x轴方向向右平移 D.沿x轴方向向左平移答案 D3.（2009泉州市） 答案 A4.（2009滨州一模）(5)已知，则的图象A与的图象相同 B与的图象关于轴对称 C向左平移个单位，得到的图象 D向右平移个单位，得到的图象答案D5.（2009青岛一模）设函数，则下列结论正确的是 （ ） A的图像关于直线对称 B的图像关于点对称 C把的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像 D的最小正周期为，且在上为增函数答案 C6.（2009长郡中学第六次月考）下列命题：若是定义在1，1上的偶函数，且在1，0上是增函数，则； 若锐角、满足 则; 在中，“”是“”成立的充要条件;要得到函数的图象, 只需将的图象向左平移个单位.其中真命题的个数有（ ）A1B2C3D4答案B7.（2009长沙一中期末）函数f(x)=sin2x+在区间上的最大值是( )A.1B C. D.1+答案 C8.（2009常德期末）若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是 A. B. C. D. 答案 C9.（2009衡阳四校联考）已知函数，则是来源:高&考%资(源#网KS5U.COMA最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的偶函数答案 D二、填空题10. (2009年4月北京海淀区高三一模文)函数的最小正周期是 . 答案 211.（2009淮安3月调研）函数上的最大值为 答案12.（2009扬州大学附中3月月考）函数的最小正周期是 答案 13.（2009上海十校联考）函数的单调递增区间是_答案三、 解答题14.（2009福州三中）已知, f(x)=。(1)求函数在0,p上的单调增区间；(2)当时，f(x)的最大值为4，求实数m的值。20081215解：（1）依题意得：令得 上的单调增区间为（2）依题意得：15.（2009枣庄一模）已知函数 （1）求 （2）当的值域。解：（1） （2）根据正弦函数的图象可得：当时，取最大值1 当时 16.（2009长郡中学第六次月考）已知函数为常数）（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；(3) 若时，的最小值为，求的值解:(1) 的最小正周期. (2) 当, 即时，函数单调递增，故所求区间为 (3
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