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第3讲利用导数研究函数的单调性,高考定位理解导数的几何意义是曲线上某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；常以指数、对数式为载体，考查函数单调性的求法或讨论.,1.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是(),真 题 感 悟,解析利用导数与函数的单调性进行验证.f (x)0的解集对应yf (x)的增区间，f (x)0的解集对应yf (x)的减区间，验证只有D选项符合.,答案D,2.(2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)0，求a的取值范围.,解(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.,f (x)2e2xaexa2(2exa)(exa).,若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.,1.求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求yf(x)在点P的切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.,2.导数与函数的单调性 (1)函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则yf(x)在该区间为增函数；如果f(x)0，则yf(x)在该区间为减函数. (2)函数单调性问题包括：求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.,探究提高(1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. (2)解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系.,【训练1】 (1)(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为() A.y2x B.yx C.y2x D.yx (2)(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a_.,解析(1)法一因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20.因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f (x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.,法二因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，此时f(x)x3x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f (x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.,法三易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)x2(a1)xa为偶函数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.,热点二求不含参数的函数的单调性 【例2】 (2016北京卷)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间.,解(1)f(x)的定义域为R.,解得a2，be.,(2)由(1)知f(x)xe2xex，由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号.,从而g(x)0，x(，)，,故f(x)的单调递增区间为(，).,综上可知，f(x)0，x(，).,探究提高确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f(x)； (3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.,(2)由h(x)在1，4上单调递减得，,探究提高利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 (1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f(x)0(0(0)成立”. (2)函数f(x)在区间D上递增(减). 方法一：转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”问题； 方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.,答案(1)3(2)(，1,1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式yy0f (x0)(xx0)，它的难点在于分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处的切线，必以点P为切点，则此时切线的方程是yy0f(x0)(xx0).,2.解函数单调性有关问题时务必先求定义域，不能忽视定义域. 3.函数f(x)在区间D上递增(减)f(x)0(0)在区间D上恒成立，此处易漏“”. 4.函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间f(x)0(0)在D上有解，此处易误多加“”.,
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