静电场的边值问题.ppt

第三章 静电场的边值问题,主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。,3.1.1 电位微分方程,3-1 镜像法,静态场问题通常分为两大类：分布型问题和边值问题。由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分公式求空间各点的场分布，称为分布型问题。如果已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布，则属于边值型问题。前面所讲静电场问题就是一些简单的分布问题。而本节的镜像法以及接下来要讲的分离变量法都是静态场边值问题的具体求解方法。此外，数值方法目前也已经成为求解静态场边值问题的一种十分普遍有效的手段，尤其目前计算机技术的飞速进步，更是给数值方法带来了十分美好前景。,那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为,该方程称为泊松方程。,对于无源区，上式变为,上式称为拉普拉斯方程。,不管是电位函数的泊松方程还是拉普拉斯方程，从数学角度来说，它们都是数学物理方程，一般是二阶偏微分方程。事实上，所有静电场问题都是泊松方程或拉普拉斯在不同边界条件下的具体解答。,已知，电位 与电场强度 E 的关系为,对上式两边取散度，得,对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为,数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位，或者在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程就是静电场的边值问题。,3.1.2 静态场的边值问题的分类及唯一性定理,1.静电场边值问题分类,第一类边值问题（或狄里赫利问题）,已知场域边界面上的位函数值，即,第三类边值问题（或混合边值问题）,已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即,第二类边值问题（或纽曼问题）,已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值，即,2.静电场边值问题的唯一性定理,对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。,解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。,解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。,泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。,由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。,解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。,静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。,唯一性定理是静电场边值问题的一个重要定理，表述为：在场域V的边界面S上，给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内具有唯一解。,因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。,惟一性定理的重要意义,给出了静态场边值问题具有惟一解的条件,为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据,为求解结果的正确性提供了判据,例：,（第三类边值问题）,例：,（第一类边值问题）,惟一性定理的证明,反证法：假设解不惟一，则有两个位函数 和 在场域V内满足同样的方程，即,且在边界面S 上有,且在边界面S 上满足同样的边界条件。,令 ，则在场域V内,或,或,由格林第一恒等式,可得到,对于第一类边界条件：,对于第二类边界条件：若 和 取同一点Q为参考点 ，则,对于第三类边界条件：,当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,3.1.3 镜像法,几个实例 接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,1.问题的提出,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。,结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。,问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？,2 镜像法的原理,用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。,在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法,3. 镜像法的理论基础解的惟一性定理,像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素” ；,4. 镜像法应用的关键点,5. 确定镜像电荷的两条原则,等效求解的“有效场域”。,镜像电荷的确定,像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。,镜像法的局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。,（1）点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。,6. 镜像法分类举例,镜像电荷,电位函数,因z = 0时，,上半空间( z0 ）的电位函数,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,(2)线电荷对无限大接地导体平面的镜像,镜像线电荷：,满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。,电位函数,原问题,当z=0时，,（3）点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1, d2 )处。,显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件。,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1, d2 ),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于( d1, d2 ),只有在(d1, d2 )处再设置一镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能得到满足。,电位函数,对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于 的整数(n)分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入(2n-1)个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。,连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。,（4）点电荷对接地导体球面的镜像,球面上的感应电荷可用镜像电荷 q来等效。q应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d。则有,如图所示，点电荷q 位于半径 为a 的接地导体球外，距球心为d 。,方法：利用导体球面上电位为零确定d 和q。,问题：,令ra，由球面上电位为零， 即 0，得,此式应在整个球面上都成立。,条件：若,O,可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。,球外的电位函数为,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷面密度为,点电荷对接地空心导体球壳的镜像,如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内，与球心相距为d ( d a )，求球内电位。,由于球壳接地，感应电荷分布在球壳的内表面上。与镜像电荷q 应位于导体球壳外，且在点电荷q与球心的连线的延长线上。与点荷位于接地导体球外同样的分析，可得到,| q|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）,球壳内的电位,感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为,导体球面的内表面上上的总感应电荷为,可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。,（5）点电荷对不接地导体球的镜像,先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电荷分布，则,导体球不接地时的特点：,导体球面是电位不为零的等位面,球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零,采用叠加原理来确定镜像电荷,点电荷q 位于一个半径为a 的不接地导体球外，距球心为d 。,然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位于球心的镜像电荷q来替代，即,球外任意点的电位为,q,P,a,q,r,R,R,d,d,q,问题：如图 1 所示，一根电荷线密度为 的无限长线电荷位于半径为a 的 无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d。,特点：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共 同产生。,分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与 轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。,(6) 线电荷对接地导体圆柱面的镜像,由于上式对任意的都成立，因此，将上式对求导，可以得到,由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即,所以有,设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为 ，则由 和 共同产生的电位函数,导体圆柱面外的电位函数：,由 时，,故,导体圆柱面上的感应电荷面密度为,导体圆柱面上单位长度的感应电荷为,导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。,(7) 两平行圆柱导体的电轴,特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。,分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为 、且相距为2b 的两根无限长带电细线来等效替代，如图 2所示。,问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长度分别带电荷 和 。,通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。,由,利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 。,思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？,(8) 点电荷与无限大电介质平面的镜像,特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。,问题：如图 1 所示，介电常数分别为 和 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质 1 中有一个点电荷q，距分界平面为h 。,分析方法：计算电介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图2所示。,介质1中的电位为,计算电介质 2 中的电位时，用位于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图 3 所示。介质2中的电位为,可得到,说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为,利用电位满足的边界条件,3-2 直角坐标系中的分离变量法,无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为,令,代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得,显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常数。同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为 ，分别求得,式中kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程,由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量 x 的常微分方程的通解为,或者,式中A, B, C, D为待定常数。,分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令 ，则上述通解变为,或者,含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。,例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为d ，其有限端被电位为0的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。,解 选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为,应用分离变量法，令,根据题意，槽中电位应满足的边界条件为,为了满足 及 边界条件，应选 Y(y) 的解为,因为 y = 0 时，电位 = 0，因此上式中常数 B = 0。为了满足边界条件 ，分离常数 ky 应为,求得,已知 ，求得,可见，分离常数 kx 为虚数，故 X(x) 的解应为,因为 x = 0 时，电位 ，因此，式中常数 C = 0，即,那么，,式中常数 C = AD 。,由边界条件获知，当 x = 0 时，电位 = 0 ，代入上式，得,上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电位方程的解，即,为了满足 x = 0， = 0 边界条件，由上式得,上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数Cn为,最后求得槽中电位分布函数为,式中 。,电场线及等位面分布如右图示：,作业：3-4、3-19,作业：3-4、3-19,