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有限元分析与应用-习题课,2,线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是如何采用弹性力学问题基本方程？,答： (1) 假设单元的位移场模式,(2) 代入到几何方程，得,(3) 代入到物理方程，得,(5) 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程,3,2. 图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，,网格划分如图，试求：,(1) 计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽；,(2) 根据图中结构的边界约束状态，指出那些结点自由度的,位移已知并且为何值。,解：,4,3. 弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数”,概念是何意思？ 该单元在跨相邻单元时，位移场连,续吗？ 应力场连续吗？,5,4. 回答下列问题：,6,4. 回答下列问题：,7,5. 对于平面、空间实体单元，位移有限元计算结果中，,位移和应力解结果的精确度是相当吗？如果精度不相,当，哪一个解较精确？,6. 判断 （ ）1. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 。 （ ）2. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型。（ ）3. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 。 （ ）4. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚度来作模型化处理的话会得到一样的答案 。,6. 判断 （ ）5. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好。 （ ）6. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度。 （ ）7. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 。 （ ）8. 一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。,7. 填空,1平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是： ，变形发生在板面内；后者受力特点是： 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： ，三个独立的应变分量： ，但对应的弹性体几何形状前者为 ，后者为 。 3位移模式需反映 ，反映 ，满足 。 4单元刚度矩阵的特点有： ， ，还可按节点分块。 5轴对称问题单元形状为： ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 问题处理。,平行于板面且沿厚度均布载荷作用,单元边界上位移连续,垂直于板面,x，y，xy,x，y，xy,薄板,长柱体,刚体位移,常应变,对称性,奇异性,二维,三角形或四边形截面的空间环形单元,7. 填空,平衡方程、物理方程、几何方程,6等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。,8一个空间块体单元的节点有 个节点位移： 。,9变形体基本变量有 ; 基本方程有 。,10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元,6等参数单元指的是： 。等参数单元优点是： 。,u，v，w,3,位移、应变、应力,10. 实现有限元分析标准化和规范化的载体就是 。,单元,8. 选择,（1）等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用_ _的结点和_的插值函数。 （A）不相同，不相同 （B）相同，相同 （C）相同，不相同 （D）不相同，相同,B,8. 选择,（2）有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_相等。 （A）单元结点个数 （B）单元结点自由度数 （C）场变量个数,B,8. 选择,（3）如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是_完全多项式。 （A）m-1次 （B）m次 （C）2m-1次,B,8. 选择,（4）与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_形式，因此，不用进行回代计算。 （A）上三角矩阵 （B）下三角矩阵 （C）对角矩阵,C,8. 选择,（5）对分析物体划分好单元后，_会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号 （B）单元组集次序 （C）结点编号,C,8. 选择,（6）n个积分点的高斯积分的精度可达到_阶。 （A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n,C,8. 选择,（7）引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵的_。 （A）对称性 （B）稀疏性 （C）奇异性,C,8. 选择,（8）在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为_。 （A）配点法 （B）子域法 （C）伽辽金法,C,8. 选择,（9）采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般_。 （A）近似解总小于精确解 （B）近似解总大于精确解 （C）近似解在精确解上下震荡 （D）没有规律,C,8. 选择,（10）对称荷载在对称面上引起的_分量为零。 （A）对称应力 （B）反对称应力 （C）对称位移 （D）反对称位移,D,9. 简答,（1）简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。,（a）对称性； （b）奇异性； （c）主对角元恒正； （d）稀疏性； （e）非零元素带状分布,9. 简答,（2）简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。,一般原则有: (a) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等； (b) 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备； (c) 多项式的选取应由低阶到高阶； (d) 尽量选取完全多项式以提高单元的精度.,9. 简答,（3）有限元法分析的目的是什么？,有限元方法分析的目的： (a) 对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。 (b) 针对具有任意复杂几何形状的变形体，完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。 (c) 力学分析的基础上，对设计对象进行强度(strength)、刚度（stiffness）评判，修改、优化参数。,9. 简答,（4）有限单元法分析步骤.,(a) 结构的离散化 (b) 选择位移模式 (c) 分析单元的力学特性 (d) 集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程 (e) 由平衡方程求解未知节点位移 (f) 单元应变和应力的计算,9. 简答,（5）简述有限单元法的收敛性准则。,完备性要求 如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛性条件之一是单元位移函数至少是m阶完全多项式。 (b) 协调性要求 如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则位移函数在单元边界界面上必须具有直到m-1解的连续导数，即Cm-1连续性。,9. 简答,（6）考虑下列三种改善应力结果的方法（a）总体应力磨平、（b）单元应力磨平和（c）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高低）和计算速度（快慢）进行排序。,计算精度（a）（c）（b） 计算速度（b）（c）（a）,9. 简答,（a）总体应力磨平,10. 计算,如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E=1，泊松比v=0；单元的边长a=1及结点编号见下图所示。试求： (1)形函数矩阵N ； (2)应变矩阵B和应力矩阵S； (3)单元刚度矩阵Ke。,10. 计算,解：,10. 计算,解：,10. 计算,解：,设图1所示的各点坐标为 点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0） 于是，可得单元的面积为,，及,（1）形函数N为,10. 计算,解：,（1）形函数N为,（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为,10. 计算,解：,（1）形函数N为,（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为,10. 计算,解：,（1）形函数N为,（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为,10. 计算,解：,（1）形函数N为,（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为,10. 计算,解：,（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为,（1）形函数N为,（3） 单元刚度矩阵Ke,10. 计算,解：,（3） 单元刚度矩阵Ke,11. 计算,11. 计算,11. 计算,解：,3,（1）根据对称性，计算模型如右图所示。,（2）每个单元的合理局部编号，如右图所示。所谓“合理”即使半带宽B最小）,12. 一些概念及术语理解,（1）什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？,答：平面应力问题是指薄板受平行于板面且沿厚度均布载荷作用，只有xy面上三个应力分量x，y，xy非零。平面应变问题是指长柱体受平行于横截面且沿长度均布载荷作用，只有xy面上三个应变分量x，y，xy非零。,12. 一些概念及术语理解,（2）单元剖分时应注意哪些问题？,答：规模适当、单元形状尽量接近正多边形、不同材料部分划分在不同单元、不同厚度或不同截面划分在不同单元、集中力作用点及分布载荷密度变化处设置节点、应力集中区域单元划分密度要大、疏密过渡要平缓、希望了解某处位移此处设置节点、边界点设置节点。,12. 一些概念及术语理解,（3）什么是位移模式？位移模式应满足哪些条件？,答：位移模式是在单元范围内的位移函数，是坐标的函数。 位移模式通常应满足a）反映刚体位移；b）反映常变形；c）单元边界上位移连续，三个条件。,12. 一些概念及术语理解,（4）什么是节点力？什么是节点载荷？,答：节点力是单元给节点的力或节点给单元的力，等于单元的弹性力；节点载荷是外界作用在弹性体节点上的力。,12. 一些概念及术语理解,（5）什么是单元分析？说说单元分析的大致过程。,答：单元分析就是寻求单元节点力与节点位移之间的关系。单元分析的大致过程：设定位移模式即用节点位移表达单元内任意一点位移、建立应变与位移之间的几何方程、建立应力与应变之间的物理关系、由虚功原理建立节点力与单元内任意一点应力之间的平衡关系，从而得到单元刚度方程。,12. 一些概念及术语理解,（6）单元刚度矩阵有哪些特点？说说它们的物理意义。,答：单元刚度矩阵具有对称性、奇异性，可按节点分块。对称性反映了功的互等关系，奇异性说明单元在无约束情况下可以发生刚体位移，由于每个节点具有相同的自由度，因此单元刚度矩阵可按节点分成若干相似的子块。,功互等定理 对于线弹性体，作用在同一构件上第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，,12. 一些概念及术语理解,（7）如何引入约束条件？,答：引入约束条件：a）对角元改1法，将刚度矩阵中有位移约束的自由度对应的行和列对角元改为1，其它元素改为0，载荷向量中对应元素置为已知位移值，其它载荷元素减去已知位移值与该行对应列刚度系数之积。b）乘大数法，将刚度矩阵中有位移约束的自由度对应的行和列对角元乘以一个非常大的数，载荷向量中对应元素改为该大数乘以对角元刚度系数再乘以已知位移值。c）降阶法，将整体方程组中有位移约束的自由度对应的行和列删除，得到一组降阶的修正方程，一般适用于手工计算。,12. 一些概念及术语理解,（8）平面问题中对称边界条件是什么？,答：平面问题中对称边界条件：对称轴上节点垂直于对称轴方向的位移为零。 用有限元程序计算分析一结构的强度须提供哪些数据？ a）总体信息：问题类型，单元类型，单位制等；b）几何信息：节点坐标，单元节点组成，板厚度，梁截面等；c）材料信息：弹性模量，泊松比，密度等；d）载荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布体力等；e）约束信息：对称约束，反对称约束，固定约束等。,12. 一些概念及术语理解,（9）有限元分析的大致步骤是什么？,答：首先进行结构离散化，将无限个自由度的弹性体用有限个自由度的离散结构模拟，再进行单元分析，即找出单元节点力与节点位移之间的关系，最后进行整体分析，即组集总刚、引入约束、形成整体载荷向量、方程组求解。解出节点位移，再求单元应力等。,12. 一些概念及术语理解,（10）什么是轴对称问题？什么是空间问题？它们的节点有哪几个自由度？,答：轴对称问题是指几何结构、所受载荷和约束都关于同一轴对称的情况，可作为二维问题处理。空间问题指结构几何形状不属于杆、板、壳、轴对称等特殊情况的一般块体，由空间块单元模拟。轴对称问题节点两个自由度：径向、轴向位移，空间问题节点三个自由度：x、y、z三方向平移。,12. 一些概念及术语理解,（11）轴对称单元与平面单元有哪些区别？,答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。,12. 一些概念及术语理解,（12）已知几何矩阵B和弹性矩阵D，推导轴对称单元的刚度矩阵。,12. 一些概念及术语理解,（13）能给出解析式的解就是精确解，只能以数值方式求得解都是近似解。这种说法对不对？为什么？,答：不一定 应用解析法时，往往有很多假设条件，将很多工况理想化，所以计算结果与实际状况往往有出入，其误差大小与理想化条件有关，所以解析式的解也不一定是精确解。,12. 一些概念及术语理解,（14）解析解的精度一定高于数值解的说法对不对？为什么？,答：不对，原因如题13，若理想化掉的情况和分析的对象相关性较大，也就是说对分析影响很大，那么在理想化后的工况下得到的结果与实际工况相差很大，此时精度还不如数值解的精度高。,12. 一些概念及术语理解,（15）有限元方程求解前为什么要进行约束处理？,答：为了消除刚体位移，使方程具有唯一解。,（16）单元节点处的位移连续性条件指的是什么？,答：各点位移必须单值连续,12. 一些概念及术语理解,（17）选择单元位移插值函数是否要包含刚体位移？,答：位移插值函数的收敛性（完备性）要求： 位移插值函数必须包含常应变状态 位移插值函数必须包含刚体位移,（18）形函数有什么重要性质？,答:1) 相关节点处的值为1，不相关节点处的值为0 (正交性） 2) 形函数之和恒等于1（正规性）,12. 一些概念及术语理解,（19）有限元应用中根据什么构造形函数？,答：形函数的性质,（20）三角形平面单元是常应变单元，所以单元内部各点的位移是相同的对吗？为什么？,答: 不对，应变是位移的导数 。,12. 一些概念及术语理解,（21）几何矩阵B表示的是什么关系？,答：B不是常矩阵，各元素均为r、s的函数。在单元内不同点上B元素的值也不同，要计算那个点的应力，在单元分析是就要同时给出该点处的B.要计算多个点，就要给出多个B。,（22）单元的协调性指的是什么、满足什么条件的单元是协调单元？,答:单元的协调性（连续性），指相邻单元公共边界处位移的连续性条件。 满足连续性条件的，称为协调单元，反之称为不协调单元。,12. 一些概念及术语理解,（23）单元刚度矩阵有什么特点？,答：单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三个重要特性。,（24）单元刚度矩阵的物理意义是什么？,答: 其正定性的物理意义是位移与载荷方向一致；奇异性是说单元含有刚体位移；对称性是说单元刚度矩阵是对称矩阵，程序设计时可充分使用。,
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