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2.3 Newton迭代法的变形,3.计算重根的Newton迭代法,由于,可见,恰是方程F(x)=0的单根, 应用Newton迭代法可得:,设是方程(x)=0的m重根，则：(x)=(x-)mh(x),其中h(x)在x=处连续且h()0。,可见,恰是方程u(x)=0的单根, 应用Newton迭代法有,这是求方程(x)=0重根的具有平方收敛的迭代法,而且不需知道根的重数.,例6 利用Newton迭代法求方程 (x)=x4-8.6x3-35.51x2+464.4x-998.46=0的正实根.,o,x,y,2,4,6,8,10,y=f(x),解 y=(x)的图形为,可见,方程在x=4附近有一个重根,在x=7附近有一单根。,利用Newton迭代法,求方程的单根,取初值x0=7, 精度 =10-6, 计算可得: x4=7.34846923, x5=7.348469229, |x5-x4|=0.000000001,可见, 迭代5次就得到满足精度的解x5=7.348469229,利用求重根的Newton迭代法(4.5)求重根,取x0=4,可得 x3=4.300000, x4=4.300000, |x4-x3|=0.000000006,然而若用一般的Newton迭代法(4.5)求重根,取x0=4,虽然也收敛,却需要迭代19次才能得到满足精度要求的解.,可见, 迭代4次就得到满足精度的解x4=4.300000.,利用带参数2的Newton迭代法,取x0=4可得x2=4.2999898.,若(a0)(x0)0,取a1=x0,b1=b0，,而且有根区间a1,b1长度是有根区间a0,b0长度的一半。,3 二 分 法,设(x)在区间a,b上连续且(a)(b)0。记a0=a，b0=b。,计算,若|(x0)| ,则取x0 ;,否则,若(a0)(x0)0,取a1=a0,b1=x0 ;,得到新的有根区间a1,b1,再对区间a1,b1重复上面运算, 即: 计算,若|(x1)|, 则取x1; 否则,若(a1)(x1)0,取a2=a1 ,b2=x1 ;若(a1)(x1)0, 取a2=x1 ,b2=b1,得到新的有根区间a2,b2。,而且有根区间a2,b2长度是有根区间a1,b1长度的一半。,一直进行下去, 直到求出有根区间ak,bk。,或者有|(xk)| ,或者有,可见, k趋向无穷大时, xk收敛于。,而且, 若要|xk-| , 只要,此时,再计算,在计算过程中,若出现|(xk)|1,或bk-ak2。则可取xk作为方程(x)=0的近似根, 终止运算。,例7 用二分法求x3+4x-7=0在区间1, 2内根的近似值, 并估计误差。,解 这里(x)=x3+4x-7， (1)(2)=-180, 所以(x)=0在1,2区间有唯一根。,取x0=1.5,由于(x0)=2.375,得新有根区间1,1.5,x1=1.25,由于(x1)=-0.0468,得新有根区间1.25,1.5,x2=1.375,由于(x2)=1.0996,得新有根区间1.25,1.375,x3=1.3125,由于(x3)=0.511,得新有根区间1.25,1.3125,x9=1.254882813,得有根区间1.254882813,1.255859375,x10=1.255371094, (x10)=-0.000105285,取x10=1.255371094作为方程根的近似值,且有,只需k5ln210-115.61， 即需取x16。,如果取精度=10-5, 则要使,二分法要求函数在区间a，b上连续，且在区间两端点函数值符号相反，二分法运算简便、可靠、易于在计算机上实现。,但是，若方程(x)=0 在区间a，b上根多于1个时，也只能求出其中的一个根。,另外，若方程(x)=0在区间a，b有重根时，也未必满足(a)(b)0。,而且由于二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用, 而多用于为其他方法提供一个比较好的初始近似值。,练习题,第102页 习题4 4-4, 4-5, 4-7, 4-8,练习题,第102页 习题4 4-10，4-12, 4-13,例如,x,0,y,yf(x),a,b,1,2,3,例如,x,0,y,y(x-)2,a,b,课堂练习,证明方程x3-x-5=0在区间1，2有唯一根。构造一种收敛的迭代格式xk+1=(x)，k=0，1，2，使对任何初值x01,2都收敛, 并说明收敛理由和收敛阶。,解 这里(x)=x3x-5， (1)(2)=-50, 所以(x)=0在1,2区间有唯一根。,建立迭代格式,改写原方程为等价方程,由于(x)(x+5)1/3满足：161/3(x)71/32, 而且,|(x)|(x+5)2/3/31/31, 故对x01,2都收敛。,由()(+5)2/3/30, 故为线性收敛。,
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