圆的有关概念总结

圆的有关概念1、圆的定义描述性定义：如图在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一端点A随之旋转所形成的图形叫圆，记作O，读作“圆O”固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径注意：描述性定义直观形象地描述了圆的形成过程，由此可见，确定圆的条件是圆心和半径点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合定点称为圆心，定长称为半径注意：点集定义准确深刻地揭示了圆的本质属性，它包括两个方面的含义：一是圆上任意一点到圆心(定点)的距离都等于定长(半径)；二是所有和圆心的距离等于定长(半径)的点都在圆上(2)弦与直径弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦直径：经过圆心弦，称为直径注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径(3)弧、优弧、劣弧、半圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用“”表示半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧2、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴3、垂径定理及推论定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧4、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角5、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧6、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径与圆有关的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系(1)dr点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)dr点在圆内2、确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆3、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形注意：要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形，从不同角度的两种说法(2)三角形外心的性质：三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合4直线和圆的位置关系的定义及有关概念(1)直线与圆的位置关系有关概念相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和O相交dr(如图(1)所示)；(2)直线l和O相切d=r(如图(2)所示)；(3)直线l和O相离dr(如图(3)所示)6、切线(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角7、三角形的内切圆与三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等8、圆和圆的位置关系(1)图示定义法(交点数)相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如上图(1)、(5)、(6)所示，其中(1)又叫做外离，(5)(6)叫做内含；相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫内切；相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图(4)所示注意：圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类即：()没有公共点：()有惟一公共点：()有两个公共点：相交(2)用数量关系判断两圆的位置关系当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)的大小有关，设两圆半径分别为R和r(Rr)，圆心距为d，则：(1)两圆外离dRr；(2)两圆外切d=Rr；(3)两圆相交RrdRr；(4)两圆内切d=Rr；(5)两圆内含dRr1. 圆周长： 圆面积：2. 圆的周长C与半径R之间存在关系，即360的圆心角所对的弧长，因此，1的圆心角所对的弧长就是。3 n的圆心角所对的弧长是 *这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。 4. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 5. 在半径是R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为n的扇形面积是： （n也是1的倍数，无单位）6. 圆锥的概念 观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。 如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。 锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 7 圆锥的性质 由图可得 （1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心； （2）圆锥的母线长都相等 8. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。 圆锥侧面积是扇形面积。 如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系： 同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是： 圆锥的全面积为： 圆柱侧面积：。