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第1课时交集与并集,一,二,三,一、交集 【问题思考】 1.两个非空集合的交集可能是空集吗? 提示:两个非空集合的交集可能是空集,即A与B无公共元素时,A与B的交集仍然存在,只不过这时AB=.反之,若AB=,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,如:A=1,3,5,7,9,B=2,4,6,8,10,此时AB=.,一,二,三,2.填写下表:,一,二,三,特别提醒对于AB=x|xA ,且xB,不能仅认为AB中的任一元素都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于AB的含义,这就是文字定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.,一,二,三,3.做一做:已知集合M=x|-2x2,N=0,1,2,则MN等于() A.0 B.1 C.0,1,2 D.0,1 解析:按照交集的定义求解即可. MN=x|-2x20,1,2=0,1. 故选D. 答案:D,一,二,三,二、并集 【问题思考】 1.集合AB中的元素个数如何确定? 提示:(1)当两个集合无公共元素时,AB的元素个数为这两个集合元素个数之和; (2)当两个集合有公共元素时,根据集合元素的互异性,同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次,所以AB的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数.,一,二,三,2.AB与AB是什么关系? 提示:集合AB=x|xA或xB中xA或xB包含三层意思:“xA,且xB”,如图甲所示的阴影部分;“xA,且xB”,如图乙所示的阴影部分;“xB,且xA”,如图丙所示的阴影部分. 又AB=x|xA,且xB,则有(AB)(AB).当且仅当A=B时,AB=AB;当且仅当AB时,(AB)(AB).,一,二,三,3.填写下表:,一,二,三,4.做一做:设集合A=1,2,B=2,3,则AB等于 () A.1,2,2,3 B.2 C.1,2,3 D. 答案:C,一,二,三,三、交集与并集的运算性质 【问题思考】 1.判断集合A=2,3与集合B=2,3,5的关系,并写出AB和AB,你能发现什么规律? 提示:A与B的关系为AB,AB=2,3,AB=2,3,5,由以上结论可推测ABAB=AAB=B.,一,二,三,2.A(BC)与A(BC)相等吗? 提示:A(BC)如图甲所示的阴影部分,A(BC)如图乙所示的阴影部分. 由图可知,A(BC)A(BC), 事实上有:A(BC)=(AB)(AC); A(BC)=(AB)(AC).,一,二,三,3.填写下表:,4.做一做:若集合A=x|x0,B=x|10. 答案:x|x0,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)若AB=,则A=或B=. () (2)AB=BAB. () (3)AB=AAB. () (4)AB=,则A=B=. () 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,探究四,两个集合的交集运算 【例1】 设A=x|x2-7x+6=0,B=x|4x9,xN,求AB. 分析:首先明确集合A,B中的元素,集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是满足不等式4x9的自然数集,然后直接观察或借助于Venn图写出交集. 解:A=1,6,B=5,6,7,8,用Venn图表示集合A,B,如图所示, 依据交集的定义,观察可得AB=6.,反思感悟求两个集合的交集时,首先要识别所给集合,其次要简化集合,即明确集合中的元素,使集合中的元素明朗化,最后再依据交集的定义写出结果.有时要借助于Venn图或数轴写出交集.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练1(1)已知集合A=0,2,4,6,B=2,4,8,16,则AB等于() A.2B.4 C.0,2,4,6,8,16D.2,4 (2)设集合A=x|-1x2,B=x|0 x4,则AB等于() A.x|0 x2B.x|1x2 C.x|0 x4D.x|1x4 答案:(1)D(2)A,探究一,探究二,探究三,探究四,两个集合的并集运算 【例2】 设集合A=x|x+10,B=x|-20的解集,然后借助于数轴写出AB. 解:A=x|x-1,在数轴上分别表示集合A,B,如图所示, 由数轴可知AB=x|x-2. 反思感悟求两个集合的并集时,若用描述法给出的集合,要先明确集合中的元素是什么性质,有时直接观察可写出并集,有时则需借助图示写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的定义,可直接观察或借助于Venn图写出并集.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练2(1)设集合M=4,5,6,8,N=3,5,7,8,则MN等于() A.3,4,5,6,7,8B.5,8 C.3,5,7,8D.4,5,6,8 (2)若集合A=x|x-1,B=x|-2-2B.x|x-1 C.x|-2x-1D.x|-1x2 答案:(1)A(2)A,探究一,探究二,探究三,探究四,集合运算性质的运用 【例3】 已知集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|mx-1=0,若AB=A,则实数m构成的集合为.,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟1.AB=ABA,AB=AAB,这两个性质常常作为“等价转化”的依据,要特别注意当AB时,往往需要按A=和A两种情况分类讨论,而这一点却很容易在解题时被忽视,因此当题目中有AB这一条件时,应有分类讨论的思想意识,以免造成漏解或增解. 2.要注重集合语言与数学文字语言之间的转化.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练3集合A=x|-1x0,满足BC=B,求实数a的取值范围. 解:(1)由题意得B=x|x2, 又A=x|-1x3,如图. 所以AB=x|2x3.,所以a-4. 所以实数a的取值范围为a-4.,探究一,探究二,探究三,探究四,集合的交、并综合运算 【例4】已知集合A=y|y= x2-2x-3,xR,B=y|y= -x2+2x+13, xR,求AB,AB. 分析:先利用配方法确定集合A与B,再利用数轴进行集合的交、并运算. 解:A=y|y=(x-1)2-4,xR, A=y|y-4. B=y|y= -( x-1)2+14,xR, B=y|y 14. 将集合A,B分别表示在数轴上,如图所示, AB=y|-4y14,AB=R.,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟集合的交、并综合运算一般需要将所给集合进行求解,有方程问题、不等式问题、点集等,把集合明确后,根据集合的特点及集合的交集、并集运算的定义,选取合适的方法进行运算,如可结合数轴、Venn图或初中所学函数的图象等.,1.设集合A=x|-1x2,B=x|0 x4,则AB等于() A.x|0 x2B.x|1x2 C.x|0 x4D.x|-1x4 解析:在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示, 由数轴可知,AB =x|0 x2. 答案:A 2.已知集合M=xN+|x8,N=-1,4,5,7,则MN等于() A.4,5,7B.1,2,3,4,5,6,7 C.1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7D.-1,1,2,3,4,5,6,7 解析:M=1,2,3,4,5,6,7,则集合M与N的所有元素构成的集合是MN=-1,1,2,3,4,5,6,7. 答案:D,3.若集合A,B,C满足AB=A,BC=C,则A与C之间的关系必定是() A.ACB.CA C.ACD.CA 解析:AB=A,BC=C,AB,BC.AC. 答案:C 4.已知集合A=x|x-a0,B=x|2-xa,B=x|x2, 因为AB=B,所以AB. 在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示, 则实数a必须在2的右边或与2重合,所以a2. 答案:a2,5.已知集合A=1,2,3,B=2,m,4,AB=2,3,则m=. 解析:由于AB=2,3,则3B,又B=2,m,4,则m=3. 答案:3 6.已知集合M=x|2x-4=0,集合N=x|x2-3x+m=0, (1)当m=2时,求MN,MN; (2)当MN=时,求实数m的取值范围. 解:(1)由题意得,M=2, 当m=2时,N=x|x2-3x+2=0=1,2, 则MN=2,MN=1,2. (2)M=2,则2不是方程x2-3x+m=0的解, 所以4-6+m0,即m2. 所以实数m的取值范围为m2.,
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