高中数学热点题型专项训练之 直线方程和两直线的位置关系

解析由直线l与直线2x3y40垂直，可知直线l的斜率是，由点斜式可得直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.第九章解析几何第1讲直线方程和两直线的位置关系一、选择题1直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10B2x3y50C3x2y70D2x3y803232答案A2m1是直线mx(2m1)y10和直线3xmy20垂直的()A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析由两直线垂直3mm(2m1)0m0或1，所以m1是两直线垂直的充分不必要条件答案A3若直线l：ykx3与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.6，3B.6，2C.3，2D.6，2y解析如图，直线l：kx3，过定点P(0，3)，3又A(3,0)，kPA3，则直线PA的倾斜角为6，满足条件的直线l的倾斜角的范围是6，2.答案B4过点A(2,3)且垂直于直线2xy50的直线方程为()Ax2y40Cx2y30B2xy70Dx2y50A.72B.C.D.解析由题意可设所求直线方程为：x2ym0，将A(2,3)代入上式得223m0，即m4，所以所求直线方程为x2y40.答案A5若曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为()9211291022210解析由题意得切点坐标为(1，1)切线斜率为ky|x123(由点到直线的距离公式得：点P(3,2)到直线l的距离为.1)21，故切线l的方程为y(1)1x(1)，整理得xy20，|322|7212122答案A6将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn()C.536D.5A4B634解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x23，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3n27m3，2n72m31，n31.5m3，解得534故mn5.7若A(2,3)，B(3，2)，C(，m)三点共线，则m的值为_解析由kABkBC，即23，得m.2答案C二、填空题12m2132123答案12aa2答案yx或18直线过点(2，3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是_xy解析设直线方程为为1或ykx的形式后，代入点的坐标求得a53和k.3xy2559已知直线l1：ax3y10与直线l2：2x(a1)y10垂直，则实数a_.3解析由两直线垂直的条件得2a3(a1)0，解得a5.答案3510已知1(a0，b0)，点(0，b)到直线x2ya0的距离的最小值为11ab_解析点(0，b)到直线x2ya0的距离为da2b(a2b)51115ab135210ab3(322)，当a22b2且abab，即a15552，b222时取等号答案352105设直线l的方程为y1k(x2)(k0)，则A2，0，B(0,12k)，kAOB的面积S(12k)2424k(44)4.当且仅当4k，即k时，等号成立，故直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.三、解答题11已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由解存在理由如下111111k2k211k21212过点P(0,1)作直线l使它被直线l：2xy80和l：x3y100截得12的线段被点P平分，求直线l的方程解设l与l的交点为A(a,82a)，1则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l上，2代入l的方程得a3(2a6)100，2a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.13已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x4y70，l2：3x4y80截得的线段长为d.(1)求d的最小值；(2)当直线l与x轴平行，试求d的值解(1)因为324370,324380，所以点P在两条平行直线l1，l2外过P点作直线l，使ll1，则ll2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|8(7)|32423.(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x11270,3x21280，所以3(x1x2)15，即x1x25，所以d|AB|x1x2|5.14已知直线l1：xy30，直线l：xy10.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程解法一因为l1l，所以l2l，设直线l2：xym0(m3，m1)直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等|m(1)|由两平行直线间的距离公式得|3(1)|，22解得m5或m3(舍去)所以直线l2的方程为xy50.法二由题意知l1l2，设直线l2：xym0(m3，m1)在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M(a，b)，于是有b311，a22a0b310，a4，解得即M(4，1)b1，把点M(4，1)代入l2的方程，得m5，所以直线l2的方程为xy50.