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2.3.3直线与平面垂直的性质 2.3.4平面与平面垂直的性质,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.直线与平面垂直的性质定理,ab,平行,探究1:(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗? (2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗? (3)过一点有几条直线与已知平面垂直? 答案:(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面. (2)不可以.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形. (3)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.,2.平面与平面垂直的性质定理,al,垂直于交线,探究2:(1)如果,则内的直线必垂直于内的无数条直线吗? (2)如果,过内的任意一点作与交线的垂线,则这条直线必垂直于吗? 答案:(1)正确.若设=l,a,b,bl,则ab,故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线. (2)错误.垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直,否则不垂直.,自我检测,1.(面面垂直的性质定理)已知直线m,n和平面,若,=m, n,要使n,则应增加的条件是( ) (A)mn(B)nm (C)n(D)n,B,2.(线面垂直的性质定理)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l平面A1C1(l与棱不重合),则( ) (A)B1Bl (B)B1Bl (C)B1B与l异面 (D)B1B与l相交,B,3.(线面、面面垂直的综合应用)已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,且m,n,则下列叙述正确的是( ) (A)若,则mn(B)若mn,则 (C)若n,则m(D)若m,则,4.(面面垂直的性质定理)下列命题中错误的是( ) (A)如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 (B)如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平 面 (C)如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面 (D)如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面,D,D,5.(面面垂直的性质定理)已知m,n,l是直线,是平面,=l, n,nl,m,则直线m与n的位置关系是.,答案:平行,6.(线面、面面垂直的应用)设,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(用序号表示).,答案:(或),题型一,直线与平面垂直的性质定理的应用,【例1】(1)已知两条直线m,n,两个平面,给出下面四个命题: mn,mn;,m,nmn;mn,m n;,mn,mn. 其中正确命题的序号是() (A)(B)(C)(D),课堂探究素养提升,(1)解析:由线面垂直的性质定理可知正确;对于,当,m,n 时,m与n可能平行也可能异面,故不正确;对于,当mn,m时, n或n,故不正确;对于,由mn,m,得n,又,所以n,故正确.故选C.,(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点, MN平面A1DC. 求证:MNAD1;,(2)证明:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以AD1A1D. 又因为CD平面ADD1A1,AD1平面ADD1A1, 所以CDAD1.因为A1DCD=D, 所以AD1平面A1DC. 又因为MN平面A1DC,所以MNAD1.,M是AB的中点.,方法技巧 证明两条直线平行的方法常见的有:(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.,即时训练1-1:如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形, AD=DE=2AB,F为CD的中点. 求证:平面BCE平面CDE.,【备用例1】 如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA平面AC,再过A作AESB交SB于点E,过点E作EFSC交SC于点F.,(1)求证:AFSC;,证明:(1)因为SA平面AC, BC平面AC,所以SABC, 因为ABCD为矩形,所以ABBC, 又SAAB=A, 所以BC平面SAB,所以BCAE.又SBAE,BCSB=B,所以AE平面SBC,所以AESC. 又EFSC,AEEF=E, 所以SC平面AEF,所以AFSC.,(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AGSD.,证明:(2)因为SA平面AC,所以SADC, 又ADDC,SAAD=A,所以DC平面SAD. 所以DCAG. 又由(1)有SC平面AEF,AG平面AEF, 所以SCAG, 又DCSC=C, 所以AG平面SDC,所以AGSD.,题型二,平面与平面垂直的性质定理的应用,【例2】 (12分)如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是DAB =60,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.,规范解答:(1)如图所示,连接BD. 因为四边形ABCD是菱形, 且DAB=60, 所以ABD是正三角形,2分 因为G是AD的中点, 所以BGAD. 3分 又因为平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD. 所以BG平面PAD. 6分,(1)若G为AD边的中点,求证:BG平面PAD;,(2)求证:ADPB.,规范解答:(2)连接PG. 因为PAD为正三角形,G为AD的中点, 所以PGAD. 7分 由(1)知BGAD, 而PGBG=G, PG平面PBG, BG平面PBG. 所以AD平面PBG. 10分 又因为PB平面PBG, 所以ADPB. 12分,方法技巧 利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.,即时训练2-1:已知:如图,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E为垂足.,证明:(1)在平面ABC内任取一点D,作DFAC于点F,作DGAB于点G. 因为平面PAC平面ABC,且交线为AC, 所以DF平面PAC. 因为PA平面PAC, 所以DFPA. 同理可证,DGPA. 因为DGDF=D, 所以PA平面ABC.,(1)求证:PA平面ABC;,证明:(2)连接BE并延长交PC于点H. 因为E是PBC的垂心,所以PCBH. 又因为AE平面PBC,所以PCAE. 因为BHAE=E, 所以PC平面ABE,所以PCAB. 又因为PA平面ABC,所以PAAB. 因为PAPC=P, 所以AB平面PAC. 所以ABAC,即ABC是直角三角形.,(2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形.,【备用例2】 如图,平行四边形ABCD中,BD=2 ,AB=2,AD=4,将BCD沿BD折起到EBD的位置,使平面EBD平面ABD.,(1)求证:ABDE,(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.,题型三,线面、面面垂直的综合问题,【例3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC =4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC平面PDA;,(1)证明:因为长方形ABCD中,BCAD, 又BC平面PDA,AD平面PDA, 所以BC平面PDA.,(2)证明:取CD的中点H,连接PH, 因为PD=PC,所以PHCD. 又因为平面PDC平面ABCD, 平面PDC平面ABCD=CD, 所以PH平面ABCD. 又因为BC平面ABCD,所以PHBC. 又因为长方形ABCD中,BCCD,PHCD=H, 所以BC平面PDC. 又因为PD平面PDC, 所以BCPD.,(2)证明:BCPD;,(3)求点C到平面PDA的距离.,方法技巧 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.,即时训练3-1:如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP平面ABCD.,(1)求证:AQ平面CEP;,(2)求证:平面AEQ平面DEP.,证明:(2)因为EP平面ABCD,AQ平面ABCD, 所以AQEP. 因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形. 所以AQDP.又EPDP=P,所以AQ平面DEP. 因为AQ平面AEQ, 所以平面AEQ平面DEP.,题型四,易错辨析推理不严谨致误,【例4】 求证:如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直. 已知:,.求证:.,错解:设=a,=b, 在内作直线ma, 因为,=a,m,ma, 所以m. 因为,所以在内存在直线n,使nm. 因为nm,m,所以n,因为n,所以.,纠错:上述证法错在逻辑推理不严谨,对面面平行的性质定理理解不透彻. 正解:证明m同上. 由,在内任取一点P, 则直线m与点P确定一个平面. 设=n,因为, =m, =n, 所以mn. 又因为m,所以n. 又因为n,所以.,谢谢观赏！,
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