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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.异面直线 (1)定义:不同在 的两条直线叫做异面直线.,任何一个平面内,(2)画法:,2.空间两条直线的位置关系,有且只有一个公共点,探究1:若直线a,b,a和b一定异面吗? 答案:不一定.当a与b不同在任何一个平面内,a,b才异面.,3.平行线的传递性 公理4:平行于同一条直线的两条直线 . 符号表示:ab,bcac. 4.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . 5.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,则a与b所成的 (或 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的取值范围:090. (3)如果两条异面直线a,b所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作ab.,互相平行,相等或互补,锐角,直角,探究2:若两条直线都与第三条直线垂直,这两条直线一定平行吗? 答案:不一定.例如墙角处的三条直线两两垂直,但是没有任何两条直线是互相平行的.,自我检测,1.(位置关系)分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( ) (A)异面(B)平行 (C)相交(D)以上都有可能,D,2.(等角定理)已知BAC=30,ABAB,ACAC,则BAC等于( ) (A)30 (B)150 (C)30或150 (D)大小无法确定,C,3.(异面直线的判定)在三棱锥S-ABC中,与AB异面的棱为( ) (A)BC (B)SA (C)SC (D)SB,C,4.(公理4、位置关系)在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是( ) (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面,A,5.(异面直线所成的角)正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BC1和CD1所成的角是( ) (A)30(B)45(C)60(D)90,C,6.(异面直线的判定)如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图有.(填序号),答案:,题型一,空间位置关系的判断,【思考】 过平面外一点和平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线,正确吗? 提示:正确.,课堂探究素养提升,【例1】已知空间四边形ABCD,ABAC,AE是ABC中BC边上的高,DF是BCD中BC边上的中线,求证:AE和DF是异面直线.,证明:假设AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE,DF的平面为,若E,F重合,则E为BC的中点,所以AB=AC,与ABAC相矛盾.若E,F不重合,因为BEF,CEF,而EF,所以B,C,又A,D, 所以A,B,C,D四点共面,这与题设ABCD为空间四边形矛盾,综上可知,假设不成立,所以AE与DF为异面直线.,方法技巧 判定两直线异面的常用方法 (1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内; (2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.,即时训练1-1:(2018四川泸州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为() (A)4(B)5(C)6(D)7,解析:正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线CD,C1D1,C1C,D1D,B1C1,AD,共有6条直线与直线BA1是异面直线,故选C.,【备用例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC;(3)A1C与D1B;(4)DC与BD1;(5)D1E与CF.,解:(1)因为C平面ABCD,AB平面ABCD, 又CAB,C1平面ABCD,所以AB与CC1异面. (2)因为A1B1AB,ABDC,所以A1B1DC. (3)因为A1D1B1C1,B1C1BC, 所以A1D1BC, 则A1,B,C,D1在同一平面内. 所以A1C与D1B相交. (4)因为B平面ABCD,DC平面ABCD, 又BDC,D1平面ABCD,所以DC与BD1异面.,(5)CF与DA的延长线交于G,连接D1G, 因为AFDC,F为AB的中点,所以A为DG的中点. 又AEDD1,所以GD1过AA1的中点. 所以直线D1E与CF相交.,题型二,公理4及等角定理的应用,【例2】如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,E,F,E,F分别是AB,BC,AB,BC的中点,求证:EEFF.,证明:因为E,E分别是AB,AB的中点, 所以BEBE,且BE=BE, 所以四边形EBBE是平行四边形. 所以EEBB, 同理可证FFBB, 所以EEFF.,变式探究1:在本例中,若M,N分别是AD,CD的中点,求证:四边形ACNM是梯形.,变式探究2:将本例变为已知E,E分别是正方体ABCD-ABCD的棱AD,AD的中点,求证:BEC=BEC.,证明:如图所示,连接EE. 因为E,E分别是AD,AD的中点, 所以AEAE,且AE=AE. 所以四边形AEEA是平行四边形. 所以AAEE,且AA=EE. 又因为AABB,且AA=BB,所以EEBB,且EE=BB. 所以四边形BEEB是平行四边形. 所以BEBE. 同理可证CECE. 又BEC与BEC的两边方向相同, 所以BEC=BEC.,方法技巧 证明两直线平行的常用方法:(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用公理4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.,即时训练2-1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1及DD1的中点,证明:BGC=FD1E.,【备用例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,AB的中点,M,N分别为B1C1,C1D1的中点. 求证:(1)MCA1E,A1FCN;,(2)EA1F=NCM.,证明:(2)由(1)知A1FCN, MCA1E, 又A1E,A1F与CM,CN的方向分别相反, 所以EA1F=NCM.,题型三,求异面直线所成的角,【例3】 (12分)如图,在三棱锥A-BCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AOOC, CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= ,求异面直线AB与CD所成角的余弦值.,规范解答:取AC的中点M, 连接OM,ME,OE, 1分 由E为BC的中点知MEAB, 2分 由O为BD中点知OEDC, 所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角. 4分,方法技巧 求异面直线所成角的一般步骤:(1)找(或作出)异面直线所成的角用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线.(2)求转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论设(2)所求角大小为.若090,则即为所求;若90180,则180-即为所求.,即时训练3-1:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1与BD1所成角的正弦值为;,(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中与侧面的对角线AD1成60角的面对角线有 条.,解析:(2)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以AD1B1,AD1C均为等边三角形. 所以AD1与BD,AD1与DC1,AD1与A1B,AD1与DC1,AD1与D1B1,AD1与AB1,AD1与AC,AD1与D1C均成60角,共8条.,答案:(2)8,谢谢观赏！,
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