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1.2类比推理,1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类比推理解决问题的思维过程. 2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作用. 3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.,1.类比推理 (1)由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理. (2)类比推理是两类事物特征之间的推理. (3)利用类比推理得出的结论不一定是正确的.,【做一做1】 在平面中,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14;类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为. 解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体积之比为相似比的立方,故体积比为18. 答案:18,2.合情推理与演绎推理 (1)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. (2)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. (3)演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程. 【做一做2】 判断下列由合情推理所得的结论是否正确,并说明理由. (1)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-100)+2.因为f(1)=2,f(2)=2,f(3)=2,f(100)=2,所以归纳猜想f(n)=2(nN+); (2)“在平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,类比可得“在空间中,垂直于同一个平面的两个平面互相平行”. 解:(1)不正确.当n100时,f(n)2. (2)不正确.在空间中,垂直于同一,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.等差数列与等比数列是一对重要的类比对象,两者在很多方面可以进行类比,例如,等差数列中项的加、减运算与等比数列中的乘、除运算相对应. 2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.,【变式训练1】 若等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:若等比数列bn的前n项之积为Tn,则T4,， 解析:由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比等比数列为依次每4项之积成等比数列.下面证明该结论的正确性:,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【例2】 在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边AB,BC所成的角分别为,则cos2+cos2=1.在立体几何中,通过类比,给出一个猜想并证明. 分析:本题主要考查类比推理的思想,考虑到平面几何中的矩形,故可联想到立体几何中的长方体.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比、归纳,提出猜想. 2.此题也可类比为:长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为,则有cos2+cos2+cos2=1.但这个结论是不对的,实际上此时cos2+cos2+cos2=2.由此可知,类比的结论不是唯一的,也不一定正确.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 圆与椭圆都是有心二次曲线,在圆中有性质“过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的圆的切线方程为x0 x+y0y=r2”,类比上述性质可得椭圆的一个性质为.,1 2 3 4 5,1下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是() A.三角形B.梯形 C.平行四边形D.矩形 答案:C,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,4下面类比推理所得结论正确的是.(只填序号) 由(a+b)2=a2+2ab+b2类比得(a+b)2=a2+2ab+b2; 由|a|=|b|a=b(a,bR)类比得|a|=|b|a=b; 由ax+y=axay(aR)类比得sin(+)=sin sin ; 由(ab)c=a(bc)(a,b,cR)类比得(ab)c=a(bc). 答案:,1 2 3 4 5,
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