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2.3.3直线与平面垂直的性质 2.3.4平面与平面垂直的性质,课标要求:理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质,并能运用性质定理解决一些简单问题.,自主学习 新知建构自我整合,实例:(1)在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.这些电线杆中的每根杆都与地面垂直. (2)在建筑或装修房屋时,经常会看到工人师傅在竖直的墙壁上寻找与地面垂直的线.,【情境导学】,想一想 1:实例(1)中这些杆之间存在什么位置关系? (电线杆与电线杆之间相互平行),想一想 2:实例(2)中工人师傅如何找到这条线呢? (只要在墙上画一条与地面和墙壁的交线垂直的直线就符合要求),1.直线与平面垂直的性质定理,知识探究,平行,ab,探究1:(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗? (2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗? (3)过一点有几条直线与已知平面垂直?,答案:(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面. (2)不可以.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形. (3)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.,2.平面与平面垂直的性质定理,al,垂直于交线,探究2:(1)如果,则内的直线必垂直于内的无数条直线吗? (2)如果,过内的任意一点作与交线的垂线,则这条直线必垂直于吗? 答案:(1)正确.若设=l,a,b,bl,则ab,故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线. (2)错误.垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直,否则不垂直.,自我检测,1.(面面垂直的性质定理)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,则下列结论中错误的是( ) (A)APAC (B)APAB (C)AP平面ABC (D)AP与BC所成的角为45,D,2.(线面垂直的性质定理)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l平面A1C1(l与棱不重合),则( ) (A)B1Bl (B)B1Bl (C)B1B与l异面(D)B1B与l相交 3.(线面、面面垂直的综合应用)已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,且m,n,则下列叙述正确的是( ) (A)若,则mn (B)若mn,则 (C)若n,则m(D)若m,则,B,D,4.(面面垂直的性质定理)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90, BC1AC,则C1在平面ABC上的射影H必在直线上.,答案:AB,5.(线面、面面垂直的应用)设,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(用序号表示).,答案:(或),题型一,直线与平面垂直的性质定理的应用,【例1】 (1)已知两条直线m,n,两个平面,给出下面四个命题: mn,mn;,m,nmn;mn,m n;,mn,mn. 其中正确命题的序号是() (A)(B) (C)(D),课堂探究 典例剖析举一反三,(1)解析:由线面垂直的性质定理可知正确;对于,当, m,n时,m与n可能平行也可能异面,故不正确;对于,当mn,m时,n或n,故不正确;对于,由mn,m,得n,又,所以n,故正确.故选C.,(2)证明:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AD1A1D. 又因为CD平面ADD1A1,AD1平面ADD1A1,所以CDAD1. 因为A1DCD=D, 所以AD1平面A1DC. 又因为MN平面A1DC,所以MNAD1.,(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点, MN平面A1DC. 求证:MNAD1;,M是AB的中点.,方法技巧,证明两条直线平行的方法常见的有:(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.,【备用例1】 如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA平面AC,再过A作AESB交SB于点E,过点E作EFSC交SC于点F. (1)求证:AFSC;,证明:(1)因为SA平面AC,BC平面AC,所以SABC, 因为ABCD为矩形,所以ABBC, 又SAAB=A,所以BC平面SAB,所以BCAE. 又SBAE,BCSB=B,所以AE平面SBC,所以AESC. 又EFSC,AEEF=E,所以SC平面AEF,所以AFSC.,(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AGSD.,证明:(2)因为SA平面AC, 所以SADC, 又ADDC,SAAD=A, 所以DC平面SAD. 所以DCAG. 又由(1)有SC平面AEF,AG平面AEF, 所以SCAG, 又DCSC=C, 所以AG平面SDC,所以AGSD.,题型二,平面与平面垂直的性质定理的应用,【例2】 (12分)如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是DAB= 60,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.,(1)若G为AD边的中点,求证:BG平面PAD;,规范解答:(1)如图所示,连接BD. 因为四边形ABCD是菱形,且DAB=60, 所以ABD是正三角形,2分 因为G是AD的中点, 所以BGAD.3分 又因为平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD. 所以BG平面PAD.6分,(2)求证:ADPB.,规范解答:(2)连接PG. 因为PAD为正三角形,G为AD的中点, 所以PGAD.7分 由(1)知BGAD, 而PGBG=G, PG平面PBG,BG平面PBG. 所以AD平面PBG.10分 又因为PB平面PBG, 所以ADPB.12分,利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.,方法技巧,即时训练2-1:如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AB=4,AD= CD=2,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示. (1)求证:BC平面ACD;,(2)求几何体D-ABC的体积.,题型三,线面、面面垂直的综合问题,【例3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,BC=3.,(1)证明:BC平面PDA;,(1)证明:因为长方形ABCD中,BCAD, 又BC平面PDA,AD平面PDA, 所以BC平面PDA.,(2)证明:BCPD;,(2)证明:取CD的中点H,连接PH, 因为PD=PC,所以PHCD. 又因为平面PDC平面ABCD, 平面PDC平面ABCD=CD, 所以PH平面ABCD. 又因为BC平面ABCD,所以PHBC. 又因为长方形ABCD中,BCCD,PHCD=H, 所以BC平面PDC. 又因为PD平面PDC,所以BCPD.,(3)求点C到平面PDA的距离.,直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.,方法技巧,即时训练3-1:如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP平面ABCD.,(1)求证:AQ平面CEP;,证明:(1)在矩形ABCD中, 因为AP=PB,DQ=QC, 所以AP CQ. 所以AQCP为平行四边形. 所以CPAQ. 因为CP平面CEP,AQ平面CEP, 所以AQ平面CEP.,(2)求证:平面AEQ平面DEP.,证明:(2)因为EP平面ABCD,AQ平面ABCD, 所以AQEP. 因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形. 所以AQDP.又EPDP=P,所以AQ平面DEP. 因为AQ平面AEQ, 所以平面AEQ平面DEP.,【备用例2】 如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为AB的中点,N为BC的中点,沿DE将ADE折起. (1)若平面ADE平面BCDE,求证:AB=AC;,证明:(1)取DE的中点M,连接AM, 因为在翻折前,四边形ABCD为矩形,AB=2AD,E为AB的中点, 所以翻折后AD=AE,则AMDE, 又平面ADE平面BCDE, 所以AM平面BCDE,所以AMBC,又N为BC的中点, 所以MNBC, 因为AMMN=M, 所以BC平面AMN, 所以BCAN, 又N为BC的中点, 所以AB=AC.,(2)若AB=AC,求证:平面ADE平面BCDE.,证明:(2)由(1)设M是DE中点, 因为N为BC的中点, 所以MNDC,又BCDC,所以MNBC, 又AB=AC,所以BCAN,又MNAN=N, 所以BC平面AMN, 所以BCAM,由(1)知AMDE,又DE与BC不平行, 所以AM平面BCDE,又AM平面ADE, 所以平面ADE平面BCDE.,谢谢观赏！,
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