柱面锥面二次曲线.ppt

水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,观察柱面的形成过程:,定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,4.1 柱面,母线,准线,柱面举例：,抛物柱面,平面,抛物柱面方程：,平面方程：,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面，,双曲柱面 ，,抛物柱面，,母线/ 轴,母线/ 轴,母线/ 轴,1. 椭圆柱面,2. 双曲柱面,4.2 锥面,定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.,这些直线都叫做锥面的母线.,那个定点叫做锥面的顶点.,锥面的方程是一个三元方程.,特别当顶点在坐标原点时：,n次齐次方程,F(x,y,z)= 0,的图形是以原点为顶点的锥面；,方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：,准线,顶点,F(x,y,z)= 0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程,锥面是直纹面,锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线.,请同学们自己用截痕法 研究其形状.,椭圆锥面,解,圆锥面方程,或,43 旋转曲面,目标：通过本节的学习，掌握旋转曲面的有关概念，熟练掌握旋转曲面方程的求法，了解几个常见的旋转曲面. 重点难点：旋转曲面方程的求法.,图4-3,方程,解,下面特殊的旋转曲面,曲线 C,C,绕 z轴,曲线 C,C,绕z轴,.,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕 z轴,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,.,绕 z轴,.,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,., S,建立旋转曲面的方程：,如图,将 代入,得方程,方程,结论（规律）： 当坐标面上的曲线绕此坐标面上的一个坐标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将在 此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是：保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个 坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。,旋转椭球面,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,旋转抛物面,几种 特殊旋转曲面,1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面,x,0,1 双叶旋转双曲面,绕 x 轴一周,x,0,.,绕 x 轴一周,1 双叶旋转双曲面,x,0,.,1 双叶旋转双曲面,.,绕 x 轴一周,a,2 单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕 y 轴一周,a,.,上题双曲线,绕 y 轴一周,2 单叶旋转双曲面,a,.,.,.,2 单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕 y 轴一周,3 旋转锥面,两条相交直线,绕 x 轴一周,.,两条相交直线,绕 x 轴一周,3 旋转锥面,.,两条相交直线,绕 x 轴一周,得旋转锥面,.,3 旋转锥面,o,4 旋转抛物面,抛物线,绕 z 轴一周,o,.,抛物线,绕 z 轴一周,4 旋转抛物面,y,.,o,x,z,生活中见过这个曲面吗？,.,4 旋转抛物面,抛物线,绕 z 轴一周,得旋转抛物面,5环面,r,R,绕 y轴 旋转所成曲面,5环面,绕 y轴 旋转所成曲面,.,5环面,绕 y轴 旋转所成曲面,环面方程,.,生活中见过这个曲面吗？,.,.,救生圈,.,5 环面,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,二次曲面,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,4.4 椭球面,椭球面的方程,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,4.5 (1) 单叶双 曲 面,解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：,第一章,点,坐标,轨迹,方程,第二章,曲面,曲线,普通,参数,平面,与直线,第三章,方程与关系,一般曲面,第四章,常见曲面和二次曲面,第五章,二次曲线的一般理论,一般曲线,一、概念,在空间直角坐标系中，由方程,所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 此方程叫做单叶双曲面的标准方程.,方程,与,表示的曲面也是单叶双曲面.,二、性质,1. 对称性,中心 ：,坐标原点（1个）;,主轴 ：,x轴、y轴和z轴（3条）;,主平面：,xOy面、yOz面和zOx面（3个）.,2. 截距和顶点,x=0, y=0 z无解,则z 轴上没有顶点；,x=0, z=0 y = b,则y轴上有顶点:,z=0, y=0 x = a,则x轴上有顶点:,（0，b ，0）（2个）；,（a，0，0）（2个）.,3.主截线,(1),: 双曲线,实轴为y轴, 虚轴为z轴;,: 双曲线,实轴为x轴, 虚轴为z轴;,(2),(3),: (腰椭圆）.,4.平行截线,无论h取何值，此方程组总表示在平面:,上的椭圆，,它的两半轴为：,与,此时椭圆的两轴端点,（ ，0， h）,与,（0， ， h）,分别在两条主截线,（双,曲线）上，,且所在平面与腰椭圆平行.,结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy面，且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线（双曲线）滑动。,三、图形,根据以上讨论，可画出单叶双曲面的图形如下：,主双曲线（yoz面）,腰椭圆（xoy面）,主双曲线 （xoz面）,主双曲线 （yoz面）,主双曲线 （xoz面）,腰椭圆 （xoy面）,四、总结,单叶双曲面的图形可由一族椭圆生成，由这个无界的曲面可联想到宇宙的广袤。因此，在美国有一座天文馆，就建成单叶双曲面的形状，其设计师就是由彗星的椭圆、双曲线轨道联想到这幅探索宇宙空间的精美图画。这充分表现了设计者极高的数学素质和审美意识。,由此我们联想到圆柱面在建筑艺术上的应用：圆柱面是由与一条定圆相交且垂直于此定圆所在平面的一族直线产生的轨迹，因而既具有圆的柔软性，又具有直线的坚硬性，融刚直与柔软于一体。正是这种特有的性质，世界上众多的建筑尤其是体育馆都建成圆柱形（如上海的万体馆等），这种建筑形状所包含的审美内容是丰富的，它是团结、友谊的显现（圆的意义），又是力量、意志的象征（直线的意义），即奥林匹克精神。,抽象的几何图形，一旦纳入审美的艺术范畴，会带来特殊的美感，抽象的几何图形被美学家称为“有意味的形式”，正好表现出它有特殊意味的审美内容，因此，在观察几何图形时应重视美的联想。,作业：P165习题3,4,5.,（摘自“解析几何教学中,的审美教育”，马世祥等，甘肃高师学报，2005，Vol.10 NO.2）,上海万体馆,夜景,近景,已知轨迹求方程：,1.求出,矢量式参数方程；,2.写出,坐标式参数方程；,3. 转化,为普通方程。,已知方程，,求空间轨迹：,参数方程,数参数,1.,（一个参数为曲线，,两个参数为曲面。）,2.,普通方程,看形式,（联立方程组为,曲线，,单独一个方程,为曲面。）,(0t +),表示空间曲线。,只有一个参数t,1.,2.,(u+, t+),有两个参数u、t,表示空间曲面。,1.,联立方程组的形式，,表示曲线。,2.,x=0,单独一个方程，,表示曲面,（平面）。,判断：,（1）,（2）,图形 方程,1.常见曲面,方程 图形,2.二次曲面,(1)对称性,(3)主截线,(2)顶点,(4)平行截线,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,4.6 抛物面,一、椭圆抛物面,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,.,4.6 抛物面,一、椭圆抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,椭圆抛物面方程,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴.,顶点,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕 z 轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,截痕法,一、双曲抛物面（马鞍面）,截痕法,.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,一、双曲抛物面（马鞍面）,截痕法,.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,一、双曲抛物面（马鞍面）,（ 与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,