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线性代数总复习,冯 媛,天下难事，必作于易，天下大事，必作于细,2,二、行列式的计算(2阶、3阶、4阶),三、余子式和代数余子式的计算,第一章 基本题型,一、考查n阶行列式的定义,3,一、考查n阶行列式的定义,1. 在6阶行列式中， 项所带的正负号是 .,2. 试判断下列乘积是否都是6阶行列式中的项：,所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。,排列的逆序数,4,二、行列式的计算,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法 在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再进行计算,2阶，3阶，4阶行列式的计算。,5,若d的第i行第j列元素的余子式和代数余子式分别记做Mij，Aij，求,已知 为4阶行列式.,三、余子式和代数余子式的计算,P21，例13,6,第二章 基本题型,二、矩阵的运算,三、求可逆矩阵的逆矩阵,一、基本概念和运算法则,四、简单证明（利用概念）,7,一、基本概念和运算法则,1. 若矩阵满足,，且,，则,判断题：,3. 设A为三阶矩阵，则,8,填空题：,1. 设A，B都是n阶可逆矩阵，则矩阵方程,的解,则A的伴随阵,_.,2. 设,_.,一、基本概念和运算法则,9,二、矩阵的运算,已知,分块对角矩阵的逆矩阵、行列式、乘积等运算(P50),10,（1）AT； （2）B-1(伴随矩阵法)； （3）,1. 已知矩阵 求,三、求可逆矩阵的逆矩阵,具体矩阵和抽象矩阵 两种类型都要求,11,四、简单证明(利用概念),1. 设A，B都是n阶对称矩阵，证明AB也,是对称矩阵的充分必要条件是,12,一、矩阵的秩的求法和性质,第三章 基本题型,二、判定线性方程组解的情况,三、求逆矩阵的初等变换法,四、求解矩阵方程的初等变换法,13,判断题： 1）在秩为r 的矩阵中，一定有等于零的r-1阶子式. 2)设A是8阶可逆方阵，则矩阵A的秩小于8.,一、矩阵的秩的求法和性质,填空题： 设A是5阶方阵，且满足A2 + A = E， 则矩阵A+E的秩R(A + E) = 。,14,1. 若n元非齐次线性方程组Amnx = b有解且R(A) = r，则当 时，方程组有唯一解；当 时，方程组有无穷多解。,二、判定线性方程组解的情况,2. 设有线性方程组,15,3. 非齐次线性方程组的增广矩阵为,则当k取何值时方程组无解？当k取何值时方程组有无穷解？,k=0，k=2,二、判定线性方程组解的情况,16,注意：,求逆矩阵的另外一种方法伴随矩阵法,三、求逆矩阵的初等变换法,17,四、求解矩阵方程的初等变换法,18,设 ，且满足 求矩阵X.,四、求解矩阵方程的初等变换法,19,第四章 基本题型,二、向量组线性相关性的判定和证明,三、求向量组的最大无关组和秩,四、求齐次线性方程组的基础解系和通解,五、求非齐次线性方程组的通解和特解,一、向量组线性表示与向量组的等价,20,一、向量组线性表示与向量组的等价,21,一、向量组线性表示与向量组的等价,22,二、向量组线性相关性的判定和证明,1. 讨论下面向量组的线性相关性。,2. 已知向量组a1，a2，a3线性无关。 证明：向量组b1，b2，b3也线性无关，其中,判定向量组线性相关性的充要条件,23,三、求向量组的最大无关组和秩,1. 向量组 的秩是 .,方法： 构造矩阵A =（a1, a2, a3, a4），而后求矩阵的秩A ，即为向量组的秩。,24,三、求向量组的最大无关组和秩,最大无关组不唯一，故答案不唯一。,25,四、求齐次线性方程组的基础解系和通解,高斯消元法,26,五、求非齐次线性方程组的通解和特解,例 求以下非齐次线性方程组的通解：,高斯消元法,27,第五章 基本题型,一、特征值与特征向量的求法,四、化二次型为标准形的正交变换法,五、判别二次型正定、负定,三、求可逆矩阵(正交矩阵)使矩阵对角化,二、特征值的性质的证明及应用,28,一、特征值与特征向量的求法,已知,求A的特征值与特征向量,3. 求出(A-iE)x=0的通解（去掉零解）就是特征值i对应的全部特征向量。,求矩阵的特征值和特征向量的步骤：,单位矩阵,注意表达方法（P118-119）,29,二、特征值的性质的证明及应用,30,二、特征值的性质的证明及应用,利用概念,31,三、求可逆矩阵(正交矩阵)使矩阵对角化,利用可逆矩阵将矩阵化为对角矩阵的具体步骤为：,2.,1.,以A的线性无关的特征向量构成可逆 矩阵P，则,求矩阵的方幂An,32,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的具体步骤为：,2.,1.,5. 以它们为列向量构成正交矩阵P，则,三、求可逆矩阵(正交矩阵)使矩阵对角化,对称矩阵的性质,33,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,系数为特征值,四、化二次型为标准形的正交变换法,34,五、判别二次型正定、负定,正定（负定）二次型的常用判别方法：,(1) 主子式判别法；,(2)特征值判别法.,先写二次型的矩阵,35,感谢同学们一个学期的支持， 预祝同学们期末考出好成绩！ 冯媛,36,复习(Review)：,向量组 1, 2, m 线性相关, 齐次线性方程组x11 +x22 + +xmm= 0 有非零解。, 矩阵A=(1 , 2 , , m)的秩（或向量组1 , 2 , , m的秩）小于向量的个数m。, 存在不全为零的一组数1, 2, m , 使得11 +22 + +mm= 0。,等价定义（P87）,线性方程组的向量形式,其中至少有一个向量可由其余向量线性表示,
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