平方根和开平方基础知识讲解

数学是科学的大门和钥匙-培根平方根和开平方（基础）责编：杜少波【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A.因为5，所以本说法正确；B.因为1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为4，所以本说法错误；D.因为0，0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根（ ）（2）（ ）（3）的平方根是（ ）（4）是的算术平方根（ ）【答案】 ； ； ， 提示：（2）；（4）是的算术平方根2、 填空：（1）是 的负平方根 （2）表示 的算术平方根， （3）的算术平方根为 （4）若，则 ，若，则 【思路点拨】（3）就是的算术平方根，此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：3是9的平方根 9的平方根是34是8的正的平方根 是64的负的平方根A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B；提示：是正确的.【变式2】（2015凉山州）的平方根是 【答案】3.解：因为=9，9的平方根是3，所以答案为3.3、（2016古冶区二模）如果一个正数的平方根为2a+1和3a-11，则a=（ ）A. 1 B.1 C. 2 D. 9【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值【答案】C【解析】解：根据题意得：2a+1+3a-11=0解得：a=2故选C.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】代数式 有意义，则的取值范围是 【答案】.类型二、利用平方根解方程4、（2015春鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144 （2）（x2）236=0【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解【答案与解析】解：（1）169x2=144， x，x=，x=.（2）（x2）236=0， （x2）2=36， x2=，x2=6，x=8或x=4【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3， 由题意得，31323 31323 21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚