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第四篇渗透数学思想，提升学科素养,数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.,(一)函数与方程思想、数形结合思想,函数与方程思想,栏目索引,数形结合思想,数学素养专练,一、函数与方程思想在不等式中的应用,函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.,函数与方程思想,1.若0x1x21，则x2 和x1 的大小关系为_.,答案,解析,x2 x1,又0g(x2)， x2 x1 .,答案,解析,2.(2018宿州调研)已知定义在R上的偶函数满足f(x)x34x(x0)，若f(1 2m)f(m)，则实数m的取值范围是_.,解析由题意可知，定义在R上的偶函数f(x)x34x(x0)， 因为yx3，y4x在x0时都是单调递增的函数， 故函数f(x)x34x在x0时为增函数， 又函数f(x)为偶函数，故图象关于y轴对称， 所以f(12m)f(m)，只需|12m|m|，,答案,解析,(，0),解析函数g(x)的图象关于直线x2对称， g(0)g(4)1.,又g(x)g(x)0，f(x)0， f(x)在R上单调递减.,4.若x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是 _.,6，2,答案,解析,故f(x)在2，1上单调递减，在(1,0)上单调递增，,当x0时，不等式恒成立.,则f(x)在(0,1上单调递增，,综上，实数a的取值范围是6，2.,二、函数与方程思想在数列中的应用,数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.,5.已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070，则其公差d _.,解析设等差数列的首项为a1，公差为d，,答案,解析,答案,解析,6.在等差数列an中，若a10, 设Snf(n)，则f(n)为二次函数， 又由f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上， 关于直线n12对称， 故Sn取最小值时n的值为12.,12,7.(2018江苏海安高级中学月考)已知等比数列an的公比q1，其前n项和为Sn，若S42S21，则S6的最小值为_.,答案,解析,8.设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S50，S63，则nSn的最小值为_.,又n是正整数，当n3时，nSn9，当n4时，nSn8， 故当n3时，nSn取得最小值9.,9,答案,解析,三、函数与方程思想在解析几何中的应用,解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.,答案,解析,4,解析不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图，,联立，解得p4， 即C的焦点到准线的距离为p4.,答案,解析,解析因为PAQ60，APAQ， 所以APAQPQ，设AQ2R，,即a2b23R2(a2b2)，,在OQA中，由余弦定理得， OA2OQ2QA22OQQAcos 60,所以双曲线C的离心率为,答案,解析,直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0). 如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)， 其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，,由点D在AB上知x02kx02，,化简得24k225k60，,12.已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x交于不同的两点A，B， 且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F，则k_.,答案,解析,解析点F的坐标为(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1k(x11)，y2k(x21)， 当k0时，l与C只有一个交点，不合题意，因此k0. 将yk(x1)代入y24x， 消去y，得k2x22(k22)xk20， 依题意知，x1，x2是的不相等的两个实根，,由以AB为直径的圆过F，得AFBF，即kAFkBF1，,所以x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10， 所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20，,数形结合思想,一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用,讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.,由图可知只有一个交点，所以有一个零点.,答案,解析,1,答案,解析,解析x0是方程的一个实数解；,则两函数图象有三个非零交点.,答案,解析,7,解析因为函数f(x)为偶函数， 所以f(x1)f(x1)f(x1)， 所以函数f(x)的周期为2. 又当x1,0时，f(x)x3， 由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1f(x)与y2|cos x|的图象如图所示.,不妨设x1x2x3x4x5x6x7， 则由图得x1x24，x3x52，x41，x6x70，,答案,解析,(0,1),解析当x0时，xlog2(x1)mx0， 所以x0是方程的一个根；,当1x1且x0时，令xlog2(x1)mx， 则mlog2(x1)，,所以满足ym和yg(x)的图象有两个交点的m的取值范围为0m1， 因为x0是方程f(x)mx0的一个根， 所以方程f(x)mx有3个根的m的取值范围为0m1.,二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用,构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.,答案,解析,(，0),f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1. 因此不等式的解集为(，1.,因此不等式的解集为(1,0).,综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0).,函数f(x)的图象如图所示. 由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数， 故f(x1)f(2x)转化为x12x. 此时x1.,当2x0且x10时，f(2x)1，f(x1)1， 满足f(x1)f(2x). 此时1x0. 综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，1(1,0)(，0).,6.设A(x，y)|x2(y1)21，B(x，y)|xym0，则使AB成立的实数m的取值范围是_.,解析集合A是圆x2(y1)21上的点的集合， 集合B是不等式xym0表示的平面区域内的点的集合， 要使AB，则应使圆被平面区域所包含(如图)， 即直线xym0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，,答案,解析,答案,解析,依题意得2a22a，,解析根据题意知f(x)是一个分段函数， 当x1时，是一个开口向下的二次函数， 对称轴方程为xa； 当x1时，如图(1)所示，符合题意； 当0a1时，如图(2)所示，符合题意； 当a0时，如图(3)所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意. 综上所述，可得a0.,0，),答案,解析,三、数形结合思想在解析几何中的应用,在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离.,9.已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0).若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为_.,答案,解析,6,解析根据题意，画出示意图，如图所示， 则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且AB2m， 因为APB90，连结OP，,要求m的最大值， 即求圆C上的点P到原点O的最大距离. 因为OC5，所以(OP)maxOCr6，即m的最大值为6.,答案,解析,解析如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连结OQ， 则OQPF2. 又PF1PF2， O为F1F2的中点， 所以PF12OQ2a. 又PF2PF12a， 所以PF24a. 在RtF1PF2中，,11.已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上 求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_.,答案,解析,解析因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部， 如图，设抛物线的准线为l， 过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B， 连结AQ， 由抛物线的定义可知， APF的周长为PFPAAFPQPAAFAQAFABAF， 当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即ABAF. 因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，,12.已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_.,答案,解析,解析连结PC，由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题， 当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，,从而S四边形PACB也越来越大； 当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小， 显然，当点P到达一个最特殊的位置， 即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，,数学素养专练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,解析因为f(x2)f(x)，所以T4， 又f(x)为奇函数，所以f(x1)f(x1)f(1x)， 即f(x)图象关于x1对称.,2.分别在曲线y2ln x与直线y2x3上各取一点M，N，则MN的最小值为_.,解析设直线y2xt与曲线y2ln x相切于点Q(a，b)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,3.在三棱锥ABCD中，ABC为等边三角形，AB ，BDC90，二面角ABCD的大小为150，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,28,解析满足题意的三棱锥ABCD如图所示， 设三棱锥ABCD的外接球的球心为O，半径为R， BCD，ABC的外接圆的圆心分别为O1，O2， 可知O，O1，O2在同一平面内， 由二面角ABCD的大小为150， 得OO1O21509060. 依题意，可得BCD，ABC的外接圆的半径分别为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为4R228.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,c25a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,5.记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3,13x的最大值为_.,8,解析在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图. 由图可知，在实数集R上，minx21，x3,13x为yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y13x在点C下方的部分的组合体. 显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3,13x取得最大值.,所以f(x)max8.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.已知函数f(x)|lg(x1)|，若1ab且f(a)f(b)，则a2b的取值范围 为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,(6，),解析由图象可知b2,1a2， lg(a1)lg(b1)，,由对勾函数的性质知，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,解析函数f(x)及ymx的图象如图所示， 由图象可知，当m0时，不等式f(x)mx不恒成立，,因为f(x0)2x03，,因为该切线过原点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,(1，),即函数f(x)在R上单调递增. 若x2，1，使得f(x2x)f(xk)0成立， 即f(x2x)f(xk)， 所以f(x2x)f(kx)， 即x2xkx，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,则问题转化为x2,1，kx22x， 令g(x)x22x，x2,1. 则kg(x)ming(1)1， 故实数k的取值范围是(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.,令f(h)0，解得h2. 当h(0,2)时，f(h)0，f(h)单调递减；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,当h(2，)时，f(h)0，f(h)单调递增，,10.若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.,(0，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,解析由f(x)|2x2|b有两个零点， 可得|2x2|b有两个不等的实根， 从而可得函数y1|2x2|的图象与函数y2b的图象有两个交点，如图所示.,结合函数的图象，可得0b2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,解析方法一联立C1和C2的方程，消去x，,由椭圆C1可知，2y2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，,方法二联立C1和C2的方程消去x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又r0，解得0r1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,则(x)x(ex1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以(x)0，,因此g(x)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,本课结束,
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