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第二节 证明不等式的基本方法,【教材基础回顾】 1.比较法,ab,ab,a=b,ab,ab,2.综合法 一般地,从_出发,利用_、公理、_、 性质等,经过一系列的_、_而得出命题成立,这 种证明方法叫做综合法.综合法又叫_或由因 导果法.,已知条件,定义,定理,推理,论证,顺推证法,3.分析法 证明命题时,从_出发,逐步寻求使它成立 的_,直至所需条件为_或_ _(定义、公理或已证明的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法, 这是一种执果索因的思考和证明方法.,要证的结论,充分条件,已知条件,一个明显,成立的事实,【金榜状元笔记】 1.证明不等式的基本方法 (1)比较法:作差(商)比较法. (2)综合法:由因导果法. (3)分析法:执果索因法.,2.常见结论 (1)a20(aR).(2)(a-b)20(a,bR),其变形有 a2+b22ab, ab,a2+b2 (a+b)2. (3)若a,b为正实数,则 特别地, 2. (4)a2+b2+c2ab+bc+ca.,【教材母题变式】 1.已知a,bR+且ab,求证:a5+b5a3b2+a2b3. 【证明】因为a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5-a2b3+b5-a3b2 =a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2) =(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b),又因为ab,所以(a-b)20, 又a,bR+,所以a2+ab+b20, a+b0, 故(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b)0, 即a5+b5a3b2+a2b3.,2.已知a0,b0,c0,且a,b,c不全相等, 求证:,【证明】因为a,b,c(0,+),所以 同理 因为a,b,c不全相等, 所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立,三式 相加,得 2(a+b+c),即 a+b+c.,3.求证: 【证明】 故原不等式成立.,4.已知a0且a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1), 试比较P,Q的大小. 【解析】P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)= 当00,所以PQ.,当a1时,a3+1a2+10, 1,所以 即P-Q0,所以PQ. 所以,综上所述,PQ.,【母题变式溯源】,考向一 综合法证明不等式 【典例1】(2015全国卷)设a,b,c,d均为正数,且 a+b=c+d.证明: (1)若abcd,则 (2) 是|a-b|c-d|的充要条件.,【证明】(1)因为 由题设a+b=c+d,abcd得 因此,(2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得,(ii)若 则 即 因为a+b=c+d,所以abcd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd =(c-d)2.,因此|a-b|c-d|. 综上, 是|a-b|c-d|的充要条件.,【一题多变】1.题中条件改为: a+b=c+d=1, 证明:ab+cd,【证明】因为a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d=1, 所以 所以ab+cd,2.题中条件改为: a+b+c+d=1,证明:,【证明】 当且仅当a=b=c=d= 时等号成立.,【技法点拨】 综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.,(2)在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件.,【同源异考金榜原创】 1.已知a0,b0,a3+b3=2, 证明:(1)(a+b)(a5+b5)4. (2)a+b2.,【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b) 所以(a+b)38,因此a+b2.,2.已知ABC中角A,B,C所对的边长分别为 a,b,c, 且其中任意两边长均不相等.若a,b,c成等差数列. 求证:0B,【证明】因为ABC的三边a,b,c成等差数列,所以 2b=a+c,再根据 所以B 所以0B,考向二 分析法证明不等式 【典例2】已知a0,b0,2ca+b, 求证:,【证明】要证 只要证 即要证|a-c| 即要证(a-c)2c2-ab, 即要证a2-2ac-ab.,因为a0,所以即要证a-2c-b, 即要证a+b2c,这即为已知.所以原不等式成立.,【技法点拨】 分析法证明不等式应注意的问题 (1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.,(2)注意从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式. (3)注意恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.,【同源异考金榜原创】 1.已知m0,a,bR,求证:,【证明】因为m0,所以1+m0. 欲证 成立. 只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 即证m(a2-2ab+b2)0, 只要证明a2-2ab+b20,又a2-2ab+b2=(a-b)20显然成立, 故,2.已知ab,求证: 【证明】要证 只需证: (a-b)2, 即1+a2- +1+b2a2-2ab+b2, 化简1+ab,当1+ab2ab,即只需证a2+b22ab即可,又ab,所以a2+b22ab, 综上可知,当ab时, 成立.,考向三 比较法证明不等式高频考点,【典例3】(1)当p,q都是正数且p+q=1时,试比较 (px+qy)2与px2+qy2的大小. (2)已知a,bR+,求证:aabb,【解析】(1)(px+qy)2-(px2+qy2) =p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2) =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy. 因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p. 所以(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.,因为p,q为正数,所以-pq(x-y)20, 所以(px+qy)2px2+qy2. 当且仅当x=y时,不等式中等号成立.,(2) 当a=b时, 当ab时, 由指数函数的性质知,当ab时, 由指数函数的性质知 所以aabb,【一题多变】本例(2)小题的条件不变, 求证:abba,【证明】 当a=b时, 当ab0时,当ba0时, 所以 1,即abba,【技法点拨】 比较法证明不等式的步骤 1.作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的一般步骤: 作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体作差;,变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几个平方和等; 判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号; 结论:肯定不等式成立的结论.,(2)作差比较法的应用范围: 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法.,2.作商比较法 (1)作商比较法证明不等式的一般步骤: 作商:将不等式左右两边的式子作商; 变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式;,判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1; 结论. (2)作商比较法的应用范围: 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法.,【同源异考金榜原创】 命题点1作差法证明不等式 1.已知a,b为正实数. (1)求证: a+b. (2)利用(1)的结论求函数y= (0x1)的 最小值.,【解析】(1)因为 又因为a0,b0,所以 当且仅当a=b时等号成立.所以 a+b.,(2)因为00, 由(1)的结论,函数y= (1-x)+x=1. 当且仅当1-x=x即x= 时等号成立. 所以函数y= (0x1)的最小值为1.,命题点2作商法证明不等式 2.已知a1,利用作商比较法, 求证:,【证明】 又 所以原不等式成立.,核心素养系列（六十三） 逻辑推理证明不等式中的核心素养 根据绝对值的代数意义去绝对值号,然后分类讨论解不等式组;利用绝对值不等式的性质求函数的最值.这些都强调了对逻辑推理的考查.,【典例】已知ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试用分析法证明:B为锐角.,【证明】要证明B为锐角,只需证cos B0, 所以只需证a2+c2-b20, 即a2+c2b2,因为a2+c22ac, 所以只需证2acb2,由已知得2ac=b(a+c). 所以只需证b(a+c)b2,即a+cb,显然成立. 所以B为锐角.,
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