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8.3空间点、直线、平面 之间的位置关系,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2:过的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 过该点的公共直线.,两点,不在一条直线上,一条,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,2.直线与直线的位置关系,平行,相交,任何,(2)异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,3.公理4 平行于的两条直线互相平行.,同一条直线,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,4.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角.,相等或互补,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,5.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有 、 、三种情况.,平行,相交,在平面内,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,6.平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有、两种情况.,平行,相交,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,7.常用结论 (1)唯一性定理 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (2)异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,(3)确定平面的三个推论 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (4)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.,2,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.() (2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A. () (3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.() (4)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,那么就说平面,相交,并记作=a.() (5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线.(),答案,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线与直线EF相交的是() A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1,答案,解析,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(),答案,解析,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是.(填序号) Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb.,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(教材探究改编P46)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.,答案,解析,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.,考点1,考点2,考点3,例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证: (1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点. 思考如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点?,考点1,考点2,考点3,证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B. E,F分别是AB,AA1的中点, EFA1B. 又A1BCD1, EFCD1,E,C,D1,F四点共面. (2)EFCD1,EFCD1, CE与D1F必相交,设交点为P, 则由PCE,CE平面ABCD, 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA, P直线DA. CE,D1F,DA三线共点.,考点1,考点2,考点3,解题心得1.点线共面问题的证明方法: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内; (2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面,最后证明平面,重合. 2.证明多线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.,考点1,考点2,考点3,对点训练1如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12. (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.,考点1,考点2,考点3,证明 (1)E,F分别为AB,AD的中点, EFBD. GHBD,EFGH. E,F,G,H四点共面. (2)EGFH=P,PEG,EG平面ABC, P平面ABC.同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC平面ADC=AC, PAC,P,A,C三点共线.,考点1,考点2,考点3,例2平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(),思考如何求两条异面直线所成的角?,A,考点1,考点2,考点3,解析:(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1. 平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1. B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角, 即B1D1C等于m,n所成的角. B1D1C为正三角形,B1D1C=60,考点1,考点2,考点3,(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角. 因为AEF是正三角形,所以EAF=60,考点1,考点2,考点3,解题心得几何法求异面直线所成的角 (1)作:利用定义转化为平面角,对于异面直线所成的角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上. (2)证:证明作出的角为所求角. (3)求:把这个平面角置于一个三角形中,通过解三角形求空间角.,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)在我国古代数学名著九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD中,AB平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(),A,考点1,考点2,考点3,(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问: AM和CN是不是异面直线?说明理由. D1B和CC1是不是异面直线?说明理由.,考点1,考点2,考点3,解析:(1)如图所示,分别取AB,AD,BC,BD的中点E,F,G,O,则EFBD,EGAC,FOOG,FEG为异面直线AC与BD所成角.,考点1,考点2,考点3,(2)解:不是异面直线.理由如下: 如图,连接MN,A1C1,AC. M,N分别是A1B1,B1C1的中点, MNA1C1. 又A1AC1C, 四边形A1ACC1为平行四边形, A1C1AC,MNAC. A,M,N,C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线.,考点1,考点2,考点3,是异面直线.理由如下: ABCD-A1B1C1D1是正方体, B,C,C1,D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面, D1,B,C,C1,与B,C,C1,D1不共面矛盾.假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.,考点1,考点2,考点3,例3设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是() A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直 C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直 思考如何借助空间图形确定线面位置关系?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形或反例来判断.,考点1,考点2,考点3,对点训练3,是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: 如果mn,m,n,那么. 如果m,n,那么mn. 如果,m,那么m. 如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号),答案,解析,考点1,考点2,考点3,1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.,考点1,考点2,考点3,1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.,思想方法构造模型判断空间线面的位置关系 空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考常设置选择题或填空题,考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法.在判断线、面位置关系时,有时可以借助常见的几何体作出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.,典例(1)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则() A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条.,(3)已知m,n是两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个命题: 若m,n,mn,则; 若m,n,mn,则; 若m,n,mn,则; 若m,n,则mn. 其中所有正确的命题的序号是. 答案(1)D(2)无数(3),解析 (1)在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是mn1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面, 所以C错误. (2)(方法一) 如图,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条.,(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因CD与平面不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ(图略),则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交. (3)借助于长方体模型来解决本题,对于,可以得到平面,互相垂直,如图a所示,故正确;对于,平面,可能垂直,如图b所示,故不正确;对于,平面,可能垂直,如图c所示,故不正确;对于,由m,可得m,因为n,所以过n作平面,且=g,如图d所示,所以n与交线g平行,因为mg,所以mn,故正确.,反思提升1.构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误. 2.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.,
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