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选修44坐标系与参数方程,知识梳理,考点自诊,知识梳理,考点自诊,2.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个O,叫做极点,自极点O引一条Ox,叫做极轴;再选定一个单位,一个单位(通常取)及其正方向(通常取方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记为.,定点,射线,长度,角度,弧度,逆时针,距离|OM|,xOM,(,),M(,),知识梳理,考点自诊,3.极坐标与直角坐标的互化 (1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,).,(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍).一般取0,0,2).,知识梳理,考点自诊,4.直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(0,0),且从极轴到此直线的角为,则它的方程为:sin(-)=. (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程: 直线过极点:=0和; 直线过点M(a,0),且垂直于极轴:; 直线过 ,且平行于极轴:. 5.圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为. (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程: 圆心位于极点,半径为r:=; 圆心位于M(a,0),半径为a:=; 圆心位于 ,半径为a:=.,0sin(0-),= +0,cos =a,sin =b,r,2acos ,2asin ,知识梳理,考点自诊,参数方程,参数,知识梳理,考点自诊,知识梳理,考点自诊,知识梳理,考点自诊,C,知识梳理,考点自诊,3.在极坐标系Ox中,方程=2sin 表示的圆为(),D,解析:由题意得,方程=2sin 表示以 为圆心,半径为1的圆,故选D.,4.在极坐标系中,直线l的方程为sin =3,则点 到直线l的距离为.,2,知识梳理,考点自诊,5.(2018全国1,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.,解 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.,知识梳理,考点自诊,考点1,考点2,考点3,考点4,参数方程与极坐标方程间的互化 例1 (2016全国1,文23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0. (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0, 由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0, 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1. 当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上, 所以a=1.,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程. 2.将参数方程化为直角坐标方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(2019届广东六校第一次联考,22)在平面直角坐标系中,将曲线C1向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的 ,得到曲线C2,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,C1的极坐标方程为=4cos . (1)求曲线C2的参数方程; (2)已知点M在第一象限,四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形,求内接矩形MNPQ周长的最大值,并求周长最大时点M的坐标.,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,求距离的最值,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.求点到直线距离的最大值,一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值. 2.求三角形面积最值时,若其中一边的长为定值,三角形面积最值可转化为距离最值.,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,求平面图形面积的最值 例3(2017全国2,文22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误. 2.解决与夹角有关的问题(如三角形面积),有时利用极坐标更方便.,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2 =1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为 (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,求动点轨迹的方程,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,直线参数方程的应用,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.在对坐标系与参数方程的考查中,最能体现坐标法的解题优势,灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答.例如,将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程,然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法,对应数学问题求解的“化生为熟”原则,充分体现了转化与化归的数学思想. 2.极坐标与直角坐标互化的前提条件:极点与原点重合;极轴与x轴的正半轴重合;取相同的单位长度.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=cos 及y=sin 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,3.求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(,)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程. 4.消去参数的方法一般有三种: (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数; (2)利用三角恒等式消去参数; (3)根据参数方程本身的结构特征,灵活地选用一些方法从整体上消去参数. 5.已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时,一般是把参数方程化为普通方程,通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.,1.(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程;(2)在对曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围. 3.直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时(参数方程的标准形式),t才有几何意义且几何意义为|t|是直线上任一点M(x,y)到定点M0(x0,y0)的距离.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,
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