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12.2古典概型与几何概型,1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和. 2.古典概型 (1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 有限性:试验中所有可能出现的基本事件 . 等可能性:每个基本事件出现的可能性.,知识梳理,考点自诊,互斥,基本事件,只有有限个,相等,知识梳理,考点自诊,3.几何概型 (1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (2)特点:无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; 等可能性:每个结果的发生具有等可能性. (3)公式:P(A)= . 4.随机模拟方法 使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.,长度,知识梳理,考点自诊,1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和. 2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法. 3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.() (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.() (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.() (5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(),知识梳理,考点自诊,知识梳理,考点自诊,C,2.(2018全国2,理8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(),知识梳理,考点自诊,3.(2018河南信阳二模)某同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x-y=1上的概率为(),A,解析:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是先后掷两次骰子,共有66=36种结果,满足条件的事件是(x,y)为坐标的点落在直线2x-y=1上, 即当x=1,y=1时;当x=2,y=3时;当x=3,y=5时,共有3种结果, 根据古典概型的概率公式得到以(x,y)为坐标的点落在直线2x-y=1上的概率为 .故选A.,知识梳理,考点自诊,4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(),B,知识梳理,考点自诊,知识梳理,考点自诊,5.在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.,考点1,考点2,考点3,古典概型的概率,C,C,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,思考求古典概型的概率的一般思路是怎样的?对与顺序相关的问题怎样处理? 解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略: 1.求古典概型的概率的思路是:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式. 2.对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,C,C,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,古典概型的交汇问题(多考向) 考向1古典概型与平面向量的交汇,C,思考如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与求概率的基本事件有关的问题?,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考向2古典概型与解析几何的交汇 例3将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为.,思考如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考向3古典概型与函数的交汇 例4设a2,4,b1,3,函数f(x)= ax2+bx+1. (1)求f(x)在区间(-,-1上是减函数的概率; (2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1)处的切线互相平行的概率.,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,解题心得1.由两个向量的数量积公式,得出它们的夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系mn,然后分别求m=n和mn对应的事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数. 2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出ab,则满足ab的基本事件的个数就能求出来,从而转化成与概率的基本事件有关的问题. 3.f(x)在区间(-,-1上是减函数可转化成开口向上的二次函数f(x)的图像的对称轴与x轴的交点的横坐标大于或等于-1,从而得出ba,从而不难得出ba包含的基本事件数.因此也转化成了与概率的基本事件有关的问题.,思考如何把f(x)在区间(-,-1上是减函数的问题转换成与概率的基本事件有关的问题?,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,(2)(2018陕西宝鸡检测)已知a、b、c为集合A=1,2,3,4,5中三个不同的数,通过如图所示程序框图给出的算法输出一个整数a,则输出的数a=5的概率是.,B,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,(3)设集合A=x|x2-3x-100,xZ,从集合A中任取两个元素a,b,且ab0,则方程 表示焦点在x轴上的双曲线的概率为. (4)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1,设a-1,1,2,3,4,5,b-2,-1,1,2,3,4,则f(x)在区间1,+)内是增加的概率为.,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,与长度、角度有关的几何概型 例5(1)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 () (2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,BC=1,在DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.,B,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,解析: (1)这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为:7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为 (2)因为在DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为“在DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域H是DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在CAB内(包括边界),区域h为CAB,所以射线AP与线段BC有公共点的概率为,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,思考如何确定几何概型的概率是用长度或角度的比来求? 解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度比计算.,考点1,考点2,考点3,(2) 如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内的概率为.,C,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,与面积、体积有关的几何概型 例6(1)(2018全国1,理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则() A.p1=p2B.p1=p3 C.p2=p3D.p1=p2+p3 (2)(2018四川梓潼检测)已知圆柱OO的底面半径为1,高为6,若区域M表示圆柱OO及其内部,区域N表示圆柱OO内到下底面的距离大于1的点组成的集合,若向区域M中随机投一点,则所投的点落入区域N中的概率为(),A,C,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,思考求与面积、体积有关的几何概型的基本思路是什么? 解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A满足的区域,在图形中画出事件A发生的区域,然后用公式,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对点训练4(1)(2018四川成都月考)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为() (2)(2018河南一模)一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为.,C,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,几何概型与非几何知识的综合,A,A,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,思考如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型有关的问题? 解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,B,A,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,几何概型的应用(模拟方法) 例8从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(),C,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,解析:如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n个数对所在的区域为边长为1的正方形.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,思考依据题意如何用随机模拟的方法求圆周率的近似值? 解题心得将看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与矩形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出的近似值.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对点训练6(2018宁夏银川四模)A地的天气预报显示,A地在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为30%,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率,先利用计算器产生09之间整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾,用7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数: 402978191925273842812479569683 231357394027506588730113537779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为(),D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,解析:由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果,经随机模拟产生的20组随机数,在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有978,479,588,779,共4组随机数, 所求概率为,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,1.古典概型计算三步曲: 第一,判断试验是不是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个. 2.确定古典概型基本事件的方法: (1)当基本事件总数较少时,可列举计算; (2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数. 3.转化思想在几何概型中的应用: 很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来,在解决问题时,要善于根据问题的,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,
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