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10.2排列与组合,知识梳理,双击自测,1.排列与组合的概念,2.排列数与组合数 (1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用_表示. (2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用 表示.,知识梳理,双击自测,3.排列数、组合数的公式及性质,知识梳理,双击自测,1.(教材改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是() A.18B.24C.30D.36,答案,解析,知识梳理,双击自测,2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为() A.144B.120C.72D.24,答案,解析,知识梳理,双击自测,3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为() A.8B.24C.48D.120,答案,解析,知识梳理,双击自测,4.从5种蔬菜品种中选出4种,分别种植在不同土质的4块土地上进行实验,不同种植方法的种数为.,答案,解析,知识梳理,双击自测,5.将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有 种.(用数字作答),答案,解析,知识梳理,双击自测,自测点评 1.排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交换顺序,如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合.,考点一,考点二,考点三,排列问题(考点难度),【例1】 (1)用数字1,2,3,4,5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是(用数字作答).,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法有() A.24种B.60种C.90种D.120种,答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法.在实际进行排列时,一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 2.对相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法,定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.,考点一,考点二,考点三,对点训练若把身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲、丁不相邻的不同排法共有() A.12种B.14种C.16种D.18种,答案,解析,考点一,考点二,考点三,组合问题(考点难度) 【例2】 (1)(2017浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答),答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有() A.60种B.63种C.65种D.66种,答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结组合问题常有以下两类题型变化: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含有”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含有”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2017浙江宁波十校联考)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有() A.150种B.180种 C.300种D.345种,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少有甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有() A.140种 B.80种 C.70种 D.35种,答案,解析,考点一,考点二,考点三,排列、组合的综合应用(考点难度) 考情分析排列组合的综合应用问题是高考的重点和难点,主要考查两类问题,一类是选排问题,另一类是分堆问题.,类型一选排问题 【例3】 从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答),答案,解析,考点一,考点二,考点三,类型二分堆问题 【例4】 有5名志愿者分到了3个学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有() A.150种B.180种C.200种D.280种,答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.选排问题的特点是入选的元素少于总元素,解决这类问题可以分步进行,先选元素,再排列. 2.解决分组分配问题的策略 (1)对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以 (n为均分的组数),避免重复计数. (2)对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数. (3)对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言,要求甲乙两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序种数为() A.30B.600C.720D.840,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)2017年中华人民共和国第十三届运动会在天津举行,将6名志愿者分成4个组分赴全运会赛场的四个不同场馆服务,其中两个组各2人,另两个组各1人.不同的分配方案有种(用数字作答).,答案,解析,易错警示定序问题 定序问题是排列组合问题中的易错点,也是难点.处理定序问题关键是先弄清楚几个元素是定序的,再除以其全排列数即可.,【典例】 (2017浙江高考样卷)如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2个,一堆3个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是(用数字作答). 答案:10 解析:如图所示,对集装箱编号,则可知排列相对顺序为1,2,3(即1号箱子一定在2号箱子前被取走,2号箱子一定在3号箱子前被取走),4,5,故不同取法的种数是 =10.,答题指导对于定序问题,有多少个元素定序,就除以其全排列数.,对点训练中国诗词大会(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场,且将进酒排在望岳的前面,山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有() A.144种B.288种 C.360种D.720种,答案,解析,高分策略1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑: (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; (3)先不考虑附加条件,计算出所有的排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数. 2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题要先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价条件. 3.不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.,
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