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8.2空间点、直线、平面之间 的位置关系,知识梳理,双击自测,1.平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 作用:可用来证明点、直线在平面内. (2)公理2:过的三点,有且只有一个平面. 公理2的推论如下: 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 作用:可用来确定一个平面;证明点线共面. (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有过该点的公共直线.,两点,不在一条直线上,一条,知识梳理,双击自测,作用:可用来确定两个平面的交线;判断或证明多点共线;判断或证明多线共点.,知识梳理,双击自测,2.空间点、直线、平面之间的位置关系,知识梳理,双击自测,知识梳理,双击自测,3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理:平行于同一条直线的两条直线. 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角. 4.异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:.,互相平行,相等或互补,锐角(或直角),知识梳理,双击自测,1.若点P,Q,R,=m,且Rm,PQm=M,过P,Q,R三点确定一个平面,则是() A.直线QRB.直线PR C.直线RMD.以上均不正确,答案,解析,知识梳理,双击自测,2.下列命题正确的个数为() 经过三点确定一个平面; 梯形可以确定一个平面; 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; 若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0B.1 C.2D.3,答案,解析,知识梳理,双击自测,3.若,是两个不垂直的平面,在上取4个点,在上取3个点,则这些点最多可确定平面的个数为() A.30B.32C.35D.40,答案,解析,知识梳理,双击自测,4.(教材改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为() A.30B.45 C.60D.90,答案,解析,知识梳理,双击自测,5.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.,答案,解析,知识梳理,双击自测,自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有”“只能”“最多”等. 2.如果两个不重合的平面只要有一个公共点,那么这两个平面一定相交且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线. 4.如果异面直线所成的角求出来是钝角,那么应该取其补角.,考点一,考点二,考点三,平面的基本性质及应用(考点难度) 【例1】 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,则正方体的过P,Q,R的截面图形是() A.三角形B.四边形 C.五边形D.六边形,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)在四面体ABCD中,点E,G分别为BC,AB的中点,点F在CD上,点H在AD上,且有DFFC=23,DHHA=23. 证明:点G,E,F,H四点共面; 证明:EF,GH,BD交于一点.,证明:点E,G分别为BC,AB的中点, EGAC.又DFFC=23,DHHA=23, FHAC.EGFH. 点E,F,G,H四点共面. 由可知,EGFH,且EGFH,即EF,GH是梯形的两腰, 它们的延长线必相交于一点P. BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线,而点P是上述两平面的公共点,由公理3知PBD. 故三条直线EF,GH,BD交于一点.,考点一,考点二,考点三,方法总结1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练的用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理. 2.画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定,作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)如图所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形的序号是.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)如图所示,平面平面=l,A,B,ABl=D,C,Cl,则平面ABC与平面的交线是() A.直线ACB.直线AB C.直线CDD.直线BC,答案,解析,考点一,考点二,考点三,空间两条直线的位置关系(考点难度) 【例2】 (1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(填上所有正确答案的序号).,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)对于两条不同的直线m,n和两个不同的平面,以下结论正确的是() A.若m,n,m,n是异面直线,则,相交 B.若m,m,n,则n C.若m,n,m,n共面于,则mn D.若m,n,不平行,则m,n为异面直线,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(3)若在教室内任意放一支笔直的铅笔,则在教室的地面上必存在直线与该铅笔所在的直线() A.平行B.相交 C.异面D.垂直,答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.证明直线异面.(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线; (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 2.证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等. 3.利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的 四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(),答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则() A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面,答案,解析,考点一,考点二,考点三,异面直线所成的角(考点难度) 【例3】 (1)(2017课标高考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(),C,考点一,考点二,考点三,解析:方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM, 可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图, 连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为BC1D.,考点一,考点二,考点三,(2)已知异面直线a,b所成的角为,过空间中定点P,与a,b都成60角的直线有四条,则的取值范围是.,解析:如图,将异面直线a,b平移使它们相交于点O,平移后的直线分别用AB,CD表示,作SO平面ABCD,则BOC=.因为满足与a,b都成60角的直线有四条,所以必须在区域SOAB,SOBC,SOCD,SOAD内各有一条直线 与AC,BD成60角.当60,因为异面直线所 成的角的范围为(0,90,所以所求的取值范围是(60,90.,(60,90,考点一,考点二,考点三,方法总结1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. 2.求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解.,考点一,考点二,考点三,对点训练如图,PA平面ABC,ACB=90,且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于.,答案,解析,思想方法构造模型判断空间线面的位置关系 空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考常设置选择题或填空题,考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法.在判断线、面位置关系时,有时可以借助常见的几何体作出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.,【典例】 设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则正确的结论是() A.若mn,n,则m B.若m,则m C.若m,n,n,则m D.若mn,n,则m 答案:C 解析:当mn,n时,可能有m,但也有可能m或m,故A选项错误;当m,时,可能有m,但也有可能m或m,故选项B错误;当m,n,n时,必有,从而m,故选项C正确;在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取m为B1C1,n为CC1,为平面ABCD,为平面ADD1A1,这时满足mn,n,但m不成立,故选项D错误.,答题指导空间中的点线面位置关系判断可以借助正方体等特殊图形作为模型,利用正方体中的众多的垂直平行排除错误选项.,对点训练设为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是() A.若a,b,则abB.若a,ab,则b C.若a,ab,则bD.若a,ab,则b,答案,解析,高分策略1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.,3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上(线段的端点或中点)利用三角形求解.,
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