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高考数学（浙江专用）,5.2平面向量的数量积及其应用,考点一平面向量的数量积,考点清单,考向基础 1.向量的数量积的定义 (1)向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b,过O点作=a,=b,则AOB=(0180) 叫做向量a与b的夹角. 当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向. (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把|a|b|cos 叫做a和b的数,量积(或内积),记作ab=|a|b|cos . (3)规定:0a=0. (4)ab的几何意义 a.一个向量在另一个向量方向上的投影 设是非零向量a与b的夹角,则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.当090时,它是正值;当90180时,它是负值;当=90时,它是0. b.ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 2.向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则,(3)当a与b同(1)ea=ae=|a|cos . (2)abab=0. 向时,ab=|a|b|, 当a与b反向时,ab=-|a|b|, 特别地,aa=|a|2. (4)亦为a、b的夹角,且cos =. (5)|ab|a|b|. 3.向量的数量积的运算律 (1)ab=ba. (2)(a)b=(ab)=a(b)(R). (3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=. (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=,这就是平面内两点间 的距离公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0. 5.向量中的重要不等式 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则-|a|b|ab|a|b|-x1x2+y1y2 .,考点二向量的综合应用,考向基础 1.向量的坐标表示与运算可以大大简化向量数量积的运算.由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决,因此我们可以利用表示向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角,判断两向量是否垂直. 2.用向量法证明几何问题的基本思想:将问题中有关几何量表示为向量,然后根据图形的性质和特点,应用向量的运算法则,推出所要求证的结论.要注意挖掘题目中,特别是几何图形中的隐含条件. 3.证明直线平行、垂直,线段相等等问题的基本方法 (1)要证AB=CD,可转化为证明=或|=|. (2)要证ABCD,只要证存在一实数0,使等式=成立即可.,(3)要证ABCD,只需证=0. 【知识拓展】 向量中常用的结论: 在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)在=的条件下,存在,使得I为ABC的内心; a+b+c=0P为ABC的内心. (2)|=|=|P为ABC的外心. (3)+=0G为ABC的重心. (4)=P为ABC的垂心.,考向突破,考向一利用数量积求长度问题,例1(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,7)已知A,B是半径为的O 上的两个点,=1,O所在平面上有一点C满足|+-|=1,则| |的取值范围是() A.2-1,2+1 B. C.-1,+1D.-1,+1,解析以O为原点,OA为x轴建立平面直角坐标系,由=1,得AOB =,于是A(,0),B,设C(x,y),则+=1. 问题转化为求圆+=1上一点到原点的距离的取值范 围.因为原点到圆心的距离为,且圆的半径为1,所以|的 取值范围为-1,+1.,答案C,考向二用数量积求角度问题,例2(2018浙江嵊州第一学期期末质检,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=|2b-a|,则|b|的最大值为,a与b的夹角的取值范围为.,解析因为|2|b|-|a|2b-a|2|b|+|a|,即|2|b|-|a|b|2|b|+|a|, 所以-|b|2|b|-|a|b|,从而|b|a|,即|b|1. 对|b|=|2b-a|两边平方,可得b2=4b2-4ab+a2, 从而cos =(3|b|+),当且仅当|b|=时等号 成立. 所以a与b的夹角的取值范围为.,答案1;,方法1利用数量积求长度和夹角的方法 一、求夹角的方法 1.定义法:利用向量数量积的定义知,cos =,其中两个向量的夹角 0,求解时应求出三个量:ab,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系. 2.坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a,b的夹角,则cos =. 3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定理和三角形的面积公式进行求解.,方法技巧,二、求长度的方法 1.|a|=; 2.|ab|=; 3.若a=(x,y),则|a|=.,例1(2018浙江嘉兴教学测试(4月),16)已知|c|=2,向量b满足2|b-c|=bc,当b,c的夹角最大时,|b|=.,解题导引,解析设向量b,c的夹角为,因为bc=2|b-c|0,所以, 由2|b-c|=bc知,2=|b|c|cos , 两边平方可知,4+|b|2-4|b|cos =|b|2cos 2,即sin2|b|2-4|b|cos +4=0, 所以关于|b|的方程有解,此时=16cos2-16sin20,要使夹角最大,仅需考虑sin 0, 所以tan 1,即, 所以的最大值为,此时|b|=2.,答案2,方法2利用向量解决几何问题的方法 1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤:建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量的问题;通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;把运算结果转化成几何关系. 2.用向量法解平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.,例2(2017浙江镇海中学第一学期期中,15)已知ABC的外心为O,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且+=0,则a,b,c的关系 为,cos B的取值范围为.,解题导引,解析设AC边上的中点为D,则ODAC,从而有=(+) =+=+0=b2,同理有=c2,= (-)=b2-c2.同理有=c2-a2,=a2-b2,由 +=0,得a2+2c2=3b2. cos B=(当且仅当 a=c时取等号),cos B1,cos B1.,答案a2+2c2=3b2;,
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