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【两年真题重温】【2011新课标全国理，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为() 求，的值；() 如果当，且时，求的取值范围故当时，可得，与题设矛盾（iii）设，此时，而，故当时，得，与题设矛盾综合得，的取值范围为【评注】本题的困难是第二问的不等式问题，通过作差f(x)后，通过适当的变换把其变换为，其目的就是为了分0x1故:当时，可得；（I）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调递增.【命题意图猜想】从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向【回归课本整合】导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即.注意：在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成.6.复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或 7.导数与函数的单调性函数在某个区间内有导数，如果，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的增区间；若，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间.2.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数注意：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.10.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值p【方法技巧提炼】yy=f,再根据题意求出切点.例1 已知曲线C：，则经过点的曲线C的切线方程是 .解析：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点，则由，得在点处的斜率，有在点处的切线的方程为.又因为点与点P（1，2）均在曲线C上，有，消去得，解得或，于是或，所以所求切线方程为或.点评：此题常见的错解：由，得，所以所求的切线方程为，即.错因是此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率与不一定相等.比如（如图）当时，正弦曲线在点P处的切线只有一条：；而经过点P的切线却有两条：与.【名师点评】本题考查了利用导数求函数极值及单调性问题，考生失误在于：一是求导后不会因式分解成积的形式，二是由(*)式确定a的范围不会或忽略分类讨论3.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1） 当时，令，得.当时，在单调递增；当时，在单调递减，在处取得极大值.由于所以，解得即当且仅当时恒成立.综上，所求的值为1.() 等价于下面证明这个不等式成立.由()可知.则【点评】第一问利用分类讨论思想，关键在于对的讨论；借助第一问的结论，为第二问证明不等式提供服务，通过恒成立，得到不等式，是解决问题的关键.所以同学们必须清楚出题者的命题思路，树立第一问为第二问的服务意识.【新题预测演练】1.【2012年河北省普通高考模拟考试】（理）已知函数（）当时，求函数在处的切线方程；（）函数是否存在零点若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由（），当时，又 .2分则在处的切线方程为 .4分（）函数的定义域为【解析】：（），当时，又 .2分所以在处的切线方程为 .4分（）函数的定义域为当时，所以即在区间上没有实数根 .6分当时，所以函数的图象在点处的切线方程为即 2分（II）=， 只需讨论的符号 4分）当2时，0，这时0，所以函数在（，+）上为增函数）当= 2时，0，函数在（，+）上为增函数 6分）当02时，令= 0，解得，当变化时，和的变化情况如下表： +00+极大值极小值在，为增函数，在为减函数 8分 由得得 的单调递增区间为，单调递减区间为.4分（II）若对任意， 使得恒成立， 则时，恒成立， 3.【河南省2012年普通高中毕业班高考适应性测试】（理）设函数（1）若x=1是的极大值点，求a的取值范围。（2）当a=0，b=-1时，函数有唯一零点，求正数的值。解： （）的定义域为，由=0，得.2分 若a0，由=0，得x=1.当时，此时单调递增；当时，此时单调递减.是增函数，所以至多有一解因为，所以方程（*）的解为，代入方程组解得12分（文）设函数（1）已知在点处的切线方程是求实数a，b的值。（2）若方程有唯一实数解，求实数的值。因为，所以方程（*）的解为代入方程组解得12分 4. 【河南省郑州市2012届高三第二次质量预测】已知函数.(I)当时，求在上的最大值和最小值(II)若函数在1, e上为增函数，求正实数a的取值范围.21. 解：（）当时，则g(x)在上单调递减，即g(x)6 时，(ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围.解：（）f(x)exx2(a2)x2aex(x2)(xa)1分（1）若a2，则f(x)0，f(x)在(，)单调递减2分（2）若0a2，当x变化时，f(x)、f(x)的变化如下表：x(，a)a(a，2)2(2，)f(x)00f(x)极小值aea极大值(4a)e2此时f(x)在(，a)和(2，)单调递减，在(a，2)单调递增3分（3）若a2，当x变化时，f(x)、f(x)的变化如下表：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值(4a)e2极大值aea此时f(x)在(，2)和(a，)单调递减，在(2，a)单调递增4分 (II )讨论的单调性. 【命题分析】本题考查导数的几何含义和函数的单调性，考查学生利用求导研究函数性质的解题能力和分类讨论思想的应用。第一问利用导数的几何含义确定直线的斜率进行求解；第二问利用求导判断函数的单调区间，注意对产生a的讨论。解：（）当a0时，f(x)，f(x)，f(1)，f(1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，即yx4分（）f(x)5分（1）若a2，则f(x)0，f(x)在(，)单调递减7分（2）若a2，则当x(，a)或x(2，)时，f(x)0，当x(a，2)时，f(x)0，此时f(x)在(，a)和(2，)单调递减，在(a，2)单调递增（3）若a2，则当x(，2)或x(a，)时，f(x)0，当x(2，a)时，f(x)0，此时f(x)在(，2)和(a，)单调递减，在(2，a)单调递增12分9. 【2012年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】理设函数.综上所述，实数p的取值范围为. 12分（文）设函数.（）当时，求函数的单调区间；10. 【2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】（理）已知函数，R (I)讨论函数的单调性； ()当时，恒成立，求的取值范围解：()的定义域为，若则在上单调递增，2分若则由得，当时，当时，在上单调递增，在单调递减.所以当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增，在单调递减.4分(), （文）已知函数，R (I)讨论函数的单调性； ()当时，恒成立，求的取值范围解：()的定义域为，若则在上单调递增，2分若则由得，当时，当时，在上单调递增，在单调递减.所以当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增，在单调递减.4分(),11. 【北京市朝阳区2011-2012学年度第一学期期末统一考试】（理）已知函数（，为正实数）.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数的最小值为，求的取值范围.解：（）当时，则. 2分 所以.又，因此所求的切线方程为. 4分（）. 5分 （1）当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增. 6分（文）设函数.（）当时,试求函数在区间上的最大值;（）当时,试求函数的单调区间.解: （）函数的定义域为. 1分当时, ，因为， 3分所以函数在区间上单调递增，则当时,函数取得最大值 . 5分12. 【北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末检测】（理）已知函数，其中由于 ，可设方程的两个根为，由得，（文）已知函数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围解：（）当时，. ， 3分 所以所求切线方程为即 5分 （）. 令，得. 7分由于，的变化情况如下表：+00+单调增极大值单调减极小值单调增所以函数的单调递增区间是和. 9分 要使在区间上单调递增，应有 或 ， 解得或 11分 又 且， 12分 所以 即实数的取值范围 13分13. 【保定市20112012学年度第一学期高三期末调研考试】（3）当时法一：因为函数在单调递增，所以其最小值为，而函数在的所以，下面判断的关系，即判断的关系，令单调递增使得上单调递减，在单调递增.10分所以即也即所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内.12分令，则在单调递增.10分，即的最大值为0.12分14. 【河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)】（理）已知函数 (I)求函数的单调区间； 也可得证命题成立10分 由导数的几何意义有对任意，12分（文）已知函数 (I)设=-1，求函数的极值； (II)在(I)的条件下，若函数(其中为的导 数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数的取值范围解：（）当， ， ，2分 的单调递减区间为（0，）,单调递增区间为（, 4分（）令又令解得（文）已知函数（）求函数的单调区间；（）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；16. 【山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测】已知函数，（K常数）（1） 求函数f(x)的单调区间；（2） 若恒成立，求K的取值范围。解析：（1）由可得， 1分的定义域为（0，+），当时，在（0，+）是增函数。3分当k0时，由可得，解析：（1）由可得， 1分的定义域为（0，+），当时，在（0，+）是增函数。4分当k0时，由可得，f(x)在（0，）是增函数，在（，+）是减函数。7分综上，当时，f(x)的单调增区间是（0，+）； 当K0时，f(x)的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+）.8分（2） 由恒成立，可得恒成立，.即，恒成立。 10分 11分17.【山东省青岛市2012届高三期末检测】（）如果函数在上是单调函数，求的取值范围； 解得 12分43用心 爱心 专心
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