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课时提升作业(二十五)一、选择题1.(2013宝鸡模拟)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()(A)-a+b (B)a-b(C)-a-b (D)-a+b2.(2013蚌埠模拟)已知向量a=(1-sin,1),b=(,1+sin),若ab,则锐角等于()(A)30(B)45(C)60(D)753.(2013九江模拟)在ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对称中心为O,则等于()(A)(-,5) (B)(-,-5)(C)(,-5) (D)(,5)4.若,是一组基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()(A)(2,0) (B)(0,-2)(C)(-2,0) (D)(0,2)5.如图所示,已知=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是()(A)c=b-a(B)c=2b-a(C)c=2a-b(D)c=a-b6.(2013铜川模拟)已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p,则k的值为()(A)- (B)(C)- (D)7.已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论:若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2;若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2;存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线;不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线.其中正确结论的个数是()(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8.(能力挑战题)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=+,其中,R且+=1,则点C的轨迹方程为()(A)(x-1)2+(y-2)2=5(B)3x+2y-11=0(C)2x-y=0(D)x+2y-5=09.(2013黄石模拟)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,AD=CD=1,AB=3,动点P在BCD内运动(含边界),设=+,则+的最大值是()(A) (B) (C) (D)10.已知向量a=(cos,-2),b=(sin,1)且ab,则tan(-)等于()(A)3 (B)-3(C) (D)-二、填空题11.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边ABDC,ADBC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为.12.如图,在ABCD中,=a,=b,=3,M是BC的中点,则=(用a,b表示).13.在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)c,则x=.14.(2013合肥模拟)给出以下四个命题:四边形ABCD是菱形的充要条件是=,且|=|;点G是ABC的重心,则+=0;若=3e1,=-5e1,且|=|,则四边形ABCD是等腰梯形;若|=8,|=5,则3|13.其中所有正确命题的序号为.三、解答题15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.(3)若(a+kc)(2b-a),求实数k.答案解析1.【解析】选B.设c=a+b,(-1,2)=(1,1)+(1,-1),c=a-b.2.【解析】选B.ab,(1-sin)(1+sin)-1=0,sin=,又为锐角,=45.3.【解析】选B.=-=-(+)=-(1,10)=(-,-5).4.【解析】选D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设a=m+n=(-1,1)+(1,2)=(-+,+2),则由解得a=0m+2n,a在基底m,n下的坐标为(0,2).5.【解析】选A.由=2得+=2(+),所以2=-+3,即c=b-a.6.【解析】选D.=(2,5),由p得5(2k-1)-27=0,所以k=.7.【解析】选B.(1)若a与b共线,即a=b,即2e1-e2=ke1+e2,而e1与e2不共线,解得k=-2.故正确,不正确.(2)若e1与e2共线,则e2=e1,有e1,e2,a,b为非零向量,2且-k,a=b,即a=b,这时a与b共线,不存在实数k满足题意.故不正确,正确.综上,正确的结论为.8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于,x,y的关系式,消去,即可得解.【解析】选D.设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).由=+,得(x,y)=(3,)+(-,3)=(3-,+3).于是由得=1-代入,消去得再消去得x+2y=5,即x+2y-5=0.【一题多解】由平面向量共线定理,得当=+,+=1时,A,B,C三点共线.因此,点C的轨迹为直线AB,由两点式求直线方程得=,即x+2y-5=0.9.【思路点拨】建立平面直角坐标系,设P(x,y),求出+与x,y的关系,运用线性规划求解.【解析】选B.以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则D(0,1),B(3,0),C(1,1),设P(x,y).=(x,y),=(0,1),=(3,0).=+,即(x,y)=(0,1)+(3,0)=(3,),+=+y.由线性规划知识知在点C(1,1)处+y取得最大值.10.【思路点拨】根据向量的共线求出tan,再利用三角变换公式求值.【解析】选B.a=(cos,-2),b=(sin,1)且ab,=(经分析知cos0),tan=-.tan(-)=-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数综合题的技巧方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.11.【解析】设D点的坐标为(x,y),由题意知=,即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,D(0,-2).答案:(0,-2)12.【解析】由题意知=+=+=-=-(+)=-=-+=-a+b.答案:-a+b13.【解析】由a=(1,2),a-b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6).由(2a+b)c得6x=-6,解得x=-1.答案:-114.【解析】对于,当=时,则四边形ABCD为平行四边形,又|=|,故该平行四边形为菱形,反之,当四边形ABCD为菱形时,则=,且|=|,故正确;对于,若G为ABC的重心,则+=0,故不正确;对于,由条件知=-,所以且|,又|=|,故四边形ABCD为等腰梯形,正确;对于,当,共线同向时,|=3,当,共线反向时,|=8+5=13,当,不共线时3|13,故正确.综上正确命题为.答案:15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).(2)a=mb+nc,(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).解得(3)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.【变式备选】已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x,使两向量,共线.(2)当两向量与共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?【解析】(1)=(x,1),=(4,x).,x2-4=0,即x=2.当x=2时,.(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),.此时A,B,C三点共线,从而,当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.但x=2时,A,B,C,D四点不共线.- 7 -
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