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第四部分：数列、不等式（3）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1已知a，bR，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()AabAG BabAGCabAG D不能确定【解析】依题意A，G，AGabab20，AGab.【答案】C2抛物线y(n2n)x2(2n1)x1与x轴交点分别为An，Bn(nN*)，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|的值是()A. B.C. D.【解析】令y0，则(n2n)x2(2n1)x10，设两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2，|AnBn|x2x1|，|A1B1|A2B2|AnBn|1，|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|.【答案】B3某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为()Aa(1p)4 Ba(1p)5C.(1p)4(1p) D.(1p)5(1p)【解析】依题意，可取出钱的总数为a(1p)4a(1p)3a(1p)2a(1p)a(1p)5(1p)【答案】D4(2011年黄冈模拟)数列an中an3n7(nN*)，数列bn满足b1，bn127bn(n2且nN*)，若anlogk bn为常数，则满足条件的k值()A唯一存在，且为 B唯一存在，且为3C存在且不唯一 D不一定存在【解析】依题意，bnb1n13n33n2，anlogk bn3n7logk3n23n7(3n2)logk(33logk)n72logk，若anlogkbn是常数，则33logk 0，即logk 31，k3.【答案】B5 2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到()A4 800元 B8 000元C9 600元 D11 200元【解析】由题意知，5天共捐款1010(102)(105)(104)(155)(108)(205)(1016)(255)8 000(元)【答案】B二、填空题6(2012年南宁模拟)已知函数f(x)abx的图象过点A(2，)，B(3,1)，若记anlog2 f(n)(nN*)，Sn是数列an的前n项和，则Sn的最小值是_【解析】将A、B两点坐标代入f(x)得，解得，f(x)2x，f(n)2n2n3，anlog2 f(n)n3.令an0，即n30，n3.数列前3项小于或等于零，故S3或S2最小S3a1a2a32(1)03.【答案】37.如右图，它满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第2个数是.【解析】设第n(n2)行的第2个数构成数列an，则有a3-a2=2，a4-a3=3，a5-a4=4，an-an-1=n-1，【答案】8一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，执行某种运算程序：(1)当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为f(1)；(2)从A口输入自然数n(n2)时，在B口得到的结果f(n)是前一结果f(n1)的倍，当从A口输入3时，从B口得到_；要想从B口得到，则应从A口输入自然数_【解析】由f(n)f(n1)(n2)得f(2)f(1)，f(3)f(2)，故f(4)f(3)，f(n)f(n1).由上可得f(n)f(1).故令.故n24.【答案】24三、解答题9为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9100.35【解析】(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1.(2)10年出口总量S1010a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2010年最多出口12.3吨10(2009年广东六校联考)一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列ak(k1,2,3，n)试求：(1)a1，a2，a3；(2)邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数多少个？(3)求数列ak的前k项和Sk.【解析】(1)由题意得a1n1，a2(n1)(n2)1，a3(n1)(n2)(n3)12.(2)在第k站出发时，放上的邮袋共：(n1)(n2)(nk)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共：123(k1)个，故ak(n1)(n2)(nk)12(k1)knk(k1)k(k1)knk2(k1,2，n)，即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数knk2(k1,2，n)个(3)akknk2，Sk(n2nkn)(1222k2)k(nkn).- 6 -
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