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知能优化训练(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为()A2B3C5 D7解析：选D.点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a10,1037.选D.2已知抛物线的方程为y2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为()A(0，) B(，0)C(1,0) D(0,1)解析：选A.抛物线过点(1,4)，42a，a2，抛物线方程为x2y，焦点坐标为(0，)3(2011年高考安徽卷)双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2C4 D4解析：选C.2x2y28，1，a2，2a4.4设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x4y0，则a的值为()A4 B3C2 D1解析：选A.渐近线方程可化为yx.双曲线的焦点在x轴上，2，解得a4.由题意知a0，a4.5已知F是抛物线y24x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.解析：选C.根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|)11.6设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A. B2C. D3解析：选B.由题知tan ，即3c24b24(c2a2)，解得e2.故选B.7直线ykx2与抛物线y26x交于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则k的值是()A1 B2C1或2 D以上都不是解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y6x1，y6x2，(y1y2)(y1y2)6(x1x2)，由已知y1y26，1.故选A.8设k1，则关于x、y的方程(1k)x2y2k21表示的曲线是()A长轴在y轴上的椭圆B长轴在x轴上的椭圆C实轴在y轴上的双曲线D实轴在x轴上的双曲线解析：选C.原方程可化为1，k1，k210，k12，则为实轴在y轴上的双曲线，故选C.9(2011年高考福建卷)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或解析：选A.由|PF1|F1F2|PF2|432，可设|PF1|4k，|F1F2|3k，|PF2|2k，若圆锥曲线为椭圆，则2a6k,2c3k，e.若圆锥曲线为双曲线，则2a4k2k2k,2c3k，e.10已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2 B4C6 D8解析：选B.如图，设|PF1|m，|PF2|n.则mn4.|PF1|PF2|4.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分请把答案填在题中横线上)11已知抛物线经过点P(4，2)，则其标准方程是_解析：可设标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将P点坐标代入求出p的值答案：y2x或x28y12抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是_答案：213(2011年高考北京卷)已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.解析：双曲线的焦点在x轴上，2，4.a21，b24.又b0，b2.答案：214(2011年高考山东卷)已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_解析：椭圆1的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，因此a2b27.又双曲线的离心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.答案：115(2011年高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_解析：设椭圆方程为1，由e知，故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，故a4.b28.椭圆C的方程为1.答案：1三、解答题(本大题共6小题，共75分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分13分)已知动圆M和定圆C1：x2(y3)264内切，而和定圆C2：x2(y3)24外切求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆M的半径为r，圆心M(x，y)，两定圆圆心C1(0,3)，C2(0，3)，半径r18，r22.则|MC1|8r，|MC2|r2.|MC1|MC2|(8r)(r2)10.又|C1C2|6，动圆圆心M的轨迹是椭圆，且焦点为C1(0,3)，C2(0，3)，且2a10，a5，c3，b2a2c225916.动圆圆心M的轨迹方程是1.17(本小题满分13分)椭圆的中心为坐标原点，长、短轴长之比为，一个焦点是(0，2)(1)求椭圆的离心率；(2)求椭圆的方程解：(1)设椭圆的方程为1(ab0)，c2a2b2(c0)由已知得，故e21，e.(2)c2，则a，得b2a2c2.故椭圆的标准方程为1.18(本小题满分13分)求以椭圆1短轴的两个顶点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程解：由1得a4，b3，所以短轴两顶点为(0，3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得2a2，得a，又c3，从而b2c2a24，又焦点在y轴上，所以双曲线方程为1.19.(本小题满分12分)(2011年高考福建卷)如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程解：(1)由得x24x4b0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40，解得x2.将其代入x24y，得y1.故点A(2,1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.20(本小题满分12分)(2011年高考天津卷)设椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2210，得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解不妨设A，B(0，c)，所以|AB| c.于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520.得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.21(本小题满分12分)(2010年高考福建卷)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在- 6 -
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