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2012考前冲刺数学第三部分【高考预测】1.掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角）2.提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。3.解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。4.熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。5.掌握等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。6.解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。7.正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。8.提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。【易错点点睛】对症下荮填 y=作出其图像知原函数的最小正周其为2，最大值为-.故最小正周期和最大值之和为2-.2函数f(x)=sinx+2|sinx|,x（0，2）的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 .【错误答案】 填0，3 f(x)= f(x)的值域为(0，3)，f(x)与y=k有交点， k0，3 【错解分析】 上面解答求出k的范围只能保证y= f(x)的图像与y=k有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k有两个交点，如k=1，两图像有三个交点因此，正确的解答要作出了y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解 【正确解答】 填(1，3)f(x) 作出其图像如图从图5-1中可看出：当1k3时，直线y=k与 yf(x)有两个交点 3(2012模拟题精选)要得到函数y=cosx的图像，只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的 ( ) A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度 B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度【错误答案】 B或D将函数y=sin(2x+)的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得函数y=sin(x+)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=sin(x+)= cosx的图像故选B将函数y=sin(2x+)变形为y=sin2(x+)若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=sin(x+)的图像再向右平行移动 个单位长度后得y=cosx的图像，选D【错解分析】 选B有两处错误，一是若将函数y f(x)=sin(2x+)横坐标缩短到原来的倍，(纵坐标标不变)所得函数y=f(x)= sin(4x+)，而不是f(x)=sin(x+)，二是将函数y=f(x)=sin(x+)向右平行移动得函数y=f(x)=sinx的图像，而不是y= f(x)=cosx的图像因为函数图像变换是针对自变量而言，应该是x变为x-选D同样是两处错误一是横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得函数y=sin(x+)而不是y=sin(x+)由y=sin(x+)的图像向右平移个单位长度得了y=sinx的图像，而不是y=cosx的图像【错误答案】 (1)x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，sin(2+)=1， + =k+k Z =k+ ，-0， =-(2)由(1)知 =，因此y=sin(2-)最小正周期为T=.由题意得k-2x-k+，kZ解得 k+xk+，kZ所以函数y=sin(2x-)的单调查递增区间为【错解分析】 以上解答错在第（2）小题求函数单调区间时，令处，因若把看成一个整体u，则y=sinu的周期为2。故应令，解得的x范围才是原函数的递增区间.【正确解答】（1）解法1 是函数y=f(x)的图像的对称轴，sin(2+)=1。解法2 x=是y=f(x)图象的对称轴，对任意的x有f(x)=f(-x).令x=0时，有f(0)=f().即sin=sin(+)=cos.即tan=1.又(2)由（1）得,因此，由题意得（3）由知x0y-1010故函数y=f(x)在区间0,上图像是5.求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间.【错误答案】 当时，函数y有最小值-2. 当时，函数单调递增. 函数递增区间是.【错解分析】上面解答错在求函数的递增区间上，当x0，时，2x- (-,)函数不为单调函数应先求出函数y=2sin(2x-)在R上的单调递增区间，再求它与区间0，的交集【正确解答】 函数y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)故该函数的最小正周期是.当2x-=2k-时，即x=k-时，y有最小值2令2k-2x-2k+，kZ解得k-xk+，kZ令K=0时，-x又0x，0x， K=1时， x 又0x.x.函数y=2sin(2x-)的递增区间是0， ，【特别提醒】一般地，y=Asib(x+)的图象向左平移a个单位得到y=Asin(x+a)+ 的图象，再把其上所有点的横坐标变为原来的，即得到y=Asinw1+a+的图像【变式探究】 1 已知函数y=tan 在(-,)内是减函数，则 ( ) A01 B-10 C.1 D -1 答案：D解析函数y=tan x在（-）内是减函数，w0，又函数y=tan(-wx)在（）上是增函数，有2 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为 ( ) A B. C D2 答案： C 解析：f(x)=|sin(x+)|y=sin(x+) 的最小正周期为2，f(x)=|sin(x+)|的最小正周期为.3 当0x时，函数f(x)=的最小值为 ( ) A.2 B2 C4 D. 4答案： C 解析：f(x)=cotx+4tanx0x0，cot x0，f(x)4 化简f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+ 2(xR，kZ)求函数f(x)的值域和最小正周期【错解分析】 上面解答错在由cos2=得sin2=时没有考虑角是第四象限角2是第三、四象限角sin2只能取负值因而tan2也只能为负值【正确解答】 -=cos2+2cos2=2cos2+1=cos2=又为第四象限角，即2k+ 2k+2，kZ，4k+324k+4，kZ 即2为第三、四象限角sin2=- 2(2012模拟题精选)已知-x0，sinx+cosx=， (1)求sinx-cosx的值； (2)求的值=sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为2sin2 =1+cosx，用错了公式，因为 2sin2 =1-cosx因此原式化简结果是错误的【正确解答】 解法1 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .又- x0，sinx0，sinx-cosx0sinx-cosx= (2)解法2 (1)联立方程由得slnx=-cosx，将其代入，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，cosx=-或(cosx=)- x0，故sinx-cosx=-( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3(2012模拟题精选)已知6sin2+sincos-2cos2=0，求sin(2+)的值 即【错解分析】 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用，(,)，tan0，tan=应舍去，因此原题只有一解 【正确解答】 解法1 由已知得(3sin+2cos) (2sin-cos)=03sin+2sin=0或2sin-cps=0由已知条件可知cos20，所以，即(，)于是tan0，cos0，tan(=14 已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值；答案：sin(2)设(0，),f()=，求sin的值 答案： 16sin2-4sin-11=0，解得sin=(0，)，sin0，则sin=已知函数f(x)=2sin2x+sin2x，x(0，2)求使f(x)为正值的x的集合 =(+a2)sin(x+) f(x)的最大值为+a2令+a2=+3 a=易错点3 三角函数的综合应用1(2012模拟题精选)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中yx0()将十字形的面积表示为的函数；()为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?【错误答案】 设S为十字形的面积，则S=2xy=2sin cos=sin2() (2)当sin2=1即= 时，S最大，S的最大值为1【错解分析】 上面解答错在面积S的计算上，因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x的正方形面积 【正确解答】 (1)设S为十字形的面积，则S=2xy-x2=2sincos-cos2( ) (2)解法1 S=2sincos-cos2=sin2-cos2,其中=1，即2-=时，S最大当=时，S最大，S的最大值为 解法2 S=2sincos-cos2，S=2cos2- 2sin2+2sincos=2cos2+sin2 令S=0即2cos2+sin2=0， 可解得=arctan(-2)当=arctan(-2)时，S最大，S的最大值为 2(2012模拟题精选)若0x3sinx B2x3sinx C2x=3sinx D与x的取值有关【错误答案】 选A 设f(x)=2x-3sinx，f(x)= 2-3cosx，0x0 f(x)在(0，)上是增函数 f(x)f(0)=0即2x3sinx，选A 【错解分析】f(x)=3(-cosx)当0x时，f(x)不一定恒大于0，只有当x(arccos)时 f(x)才大于0因而原函数f(x)在(0，)先减后增函数，因而2x与3sinx的大小不确定 【正确解答】 选D 设y=(x)=2x-3sinx， y=2-3cosx=3(-cosx)当cosx0当x(0，arcccos)时，y0口P2x3sinx当x(0，arccoss)时，f(x)0即2x3sinx故选D 3(2012模拟题精选)设函数f(x)=xsinx(xR)(1)证明f(x+2k)f(x)=2ksinx其中kZ；(2)设x0是f(x)的一个极值点证明f(x0)2=； (3)设f(x)在(0，+)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2，an，证明：an+1-an0是f，(x0)=0的任意正实根即x0 =-tax0，则存在一个非负整数k，使x0(+k，+ k)即x0在第二或第四象限内 由题设条件，a1，a2，an为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a1a2a3，an，那么对于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1)，+n an+1+n，则an+1-an0，由式知tan(an-1，-an) 0由此可知an+1-an必在第二象限 an+1-an0是f(x)=0的任意正实根，即x0-tanx0，则存在一个非负整数k，使x0(+k，+k)，即x0在第二或第四象限内由式f(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：X()f(x)的符号K为奇数-0+K为偶数+0-所以满足f(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点由题设条件，a1,a2，an为方程x=-tanx的全部正实根且满足a1a2an那么对于n=1，2， an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1)，+nan+1+n，则an+1-an0，由式知tan(an+1-an)0由此可知an+1-an必在第二象限，即an+1-an.综上，an+1-an【特别提醒】处理与角度有关的应用问题时，可优先考虑三角方法，其一般步骤是：具体设角、构造三角函数模型，通过三角变换来解决另外，有些代数问题，可通过三角代换，运用三角知识来求解有些三角问题，也可转化成代数函数，利用代数知识来求解如前面第2、3题 【变式探究】 1将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是 答案：解析：(x-1)2+y2=4 由 2 若x2+y2=4，则x-y的最大值是 . 答案：2解析：设x：2cos，y=2sin，则x-y=2(sin-cos)=2sin(-) 当=2k+时,(x-y)max=23 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室如图所示， ABCD是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40米，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中C、M分别在AB和AD上，H在EF上，设矩形AGHM的面积为 S，HCF=，请将S表示为的函数，并指出当点H在EF的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少? 当t=1时，S有最大值，且S最大值=500 此时，2sincos=0，即 sin 2=0 02,=0或， 当H在EF的端点E或F处时，健身室面积最大，最大面积为500平方米4 已知函数f(x)=sin(1)将f(x)写成Asin(x+)+k的形式并求其图像对称中心的横坐标；答案：解f(x)=sin(x+)+ ， 由sin(x+)=0，即x-=k(kZ) 得x=，kZ 即对称中心的横坐标为，kZ(2)如果ABC的三边。a，b,c成等比数列，且边 b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域答案：解析：(2)由已知b2=ac，cosx= 0xsinsin(x+)1 即f(x)的值域为，1+【知识导学】难点1 三角函数的图象和性质 1关于函数f(x)=4sin(2x+)(xR)有下列命题： 由f(x1)=f(x2)，可得x1-x2必是的整数倍；若x1,x2，且2f(x1)=f(x1+x2+)，则x1x2；函数y=f(x)的图像关于点(-，0)对称函数y=f(-x)的单凋递增区间可由不等式2k-2x+2k+(kZ)求得 其中正确命题的序号是 .图像的对称点，x=,4sin(2()+)=0故对由复合函数的知识可知，y=4sin(-2x+)的递增区间为满足不等式2k+-2x+2k+的 x的集合，故错综合得只有正确故填 2函数f(x)=2cos2x+ (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当方程f(x)+a=0有解时，求a的取值范围；(3)当cos()=时，求f(x)的值难点2 运用三角恒等变形求值 1若关于x的方程x2-4xSin+tan=0(有两个相同的实根 (1)求a的取值范围； (2)当a=时，求cos(+)的值【解析】 (1)利有=0可得a表示为的函数，通过来值域即可得a的取值范围 (2)可先通过第(1)问结果求出sin2的值，再运用降幂公式可求得cos2(+)的值，再求cos(+)的值就容易了【答案】 (1)=16sin2-4atan=0 ，sin0 故4sin- ， a=4sincos=2sin2，2, 0sin201，0a2 (2)由=2sin2， sin2= cos()= 而2已知(0，)，sin-cos=,求的值 【解析】 由已知可求得sin2及tan的值，因此只要把 化为sin-cos，sin2，及tan表示的式子，再代入计算即可 【答案】 解法1 把sin-cos两边平方得解析2 由已知sin2=且2(,) 3已知cos(-),sin(+)=-且(0，)，()，求sin(+)的值 【解析】 注意已知角与未知角之间的联系，即+=+-(-)- 【答案】 由已知，()所以难点3 向量与三角函数的综合 1已知向量a=(2sinx，cosx)，b=(cosx，2cosx)，定义函数f(x)=ab-1 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间【解析】 用向量的数量积的坐标运算求出y=f(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质求解【答案】 (1)f(x)=ab-1=sinxcosx+2cos2x- 1=sin2x+cosx=2sin(2x+)(2)令函数f(x)的单调减区间为k+kZ. 2设a=(1+cos，sin)，b=(1-cos，sin)，c=(1，0)(0，)，(，2)，a与b的夹角为1，b与c的夹角为的值【解析】 通过向量的夹角公式找到1、2与、的关系，从而得1-2与-的关系，进而求得 sin的值 【答案】根据题意，cos1=3已知a=(sino，cos)，b=(cos，sin)，b+c=(2cos， 0)，ab=,ac=求cos2(+)+tancot的值 【典型习题导练】 1 已知x，cos2x=a，则sinx ( ) A B-C D 答案：B 解析：由-x0知sinx0，sin2x=.sinx=-2已知的值为 ( ) A. B. C. D.答案： A 解析：bc BObc COc6 D6cO 5 已知f()=,则f()取得最大值时的值是 ( ) A BC D答案： B 解析：f(x)=当sin2a=1，即=时f(x)有最大值6 若sin+cos=tan(0)，则( ) 答案： C 解析：0+O,w0)的图像在y轴右侧的第一个最高点为M(2，2)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(0,0) (1)求这个函数的解析式；答案：解：（1）根据题意可知，A=2=6-2=4，T=16，于是w=所以y=2将点M的坐标代入y=2即sin.满足为最小正数解，即.故所求的解析工为y=2(2)此函数可以由y=sinx经过怎样的变换得到?(写出每一个具体变换) y=2sin()11 已知三点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)C(cos，sin)，kZ，若=-1，求的值 (1)若f(x)=(a+b)2，求f(x)的解析式；答案： f(x)=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=2+(2)求函数f(x)的最大值和最小值； 答案：由x-得x+ 当x+=，即x=-时，函数f(x)取最大值+2；当x+=，即x=时，函数f(x)取最小值为013 已知为第二象限的角，sin=，为第一象限的角，cos=，求tan(2-)的值 答案：解：为第二象限的角，sin=，cos=-.tan=-，又 为第一象限的角，cos=，sin14如图所示，有一农民在自留地建造一个长10 m，深05 m，横截面为等腰梯形的封闭式引水槽侧面材料每平方米造价50元，顶盖材料每平方米造价10元 (1)把建立引水槽的费用y(元)表示为引水槽的侧面与地面所成的角DAE=的函数；答案：作AHCD，垂足为H，则AH=,ADH=AH(AB+CD).即(2)引水槽的侧面与地面所成的角多大时，其材料费最低?最低材料费是多少?(精确到001，1732)答案：等号当且仅当 3tan=cot即tan= =60即当引槽的侧面与地面所成角为60材料费最低为6464元(3)按照题没条件，在引水槽的深度和横截面积及所在的材料不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与(2)中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用材料费更省?省多少?答案：截面为正方形时，材料费为10=700元所以横截面为等腰梯形时比横截面为正方形时，材料费用较省，省536元26用心 爱心 专心
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