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,高等数学,教师：孟雅琴 个人邮箱: 工作邮箱: 电话：15921365639,经典数学的研究对象是现实世界中的数量关系和空间形式。,数学形成两大分支：几何学和代数学,在古希腊时代（大约公元前5世纪-公元前3世纪）数学就成为一门独立的、理性的学科发展起来了。它的最杰出的代表作是Eulid的几何原本，至今已有两千多年的历史了。,初等数学时期：公元前3世纪到17世纪,-常量数学时期,主要研究对象： 匀速的运动（速度不变） 匀加速运动（速度匀速变化） 直边图形（不弯曲） 圆弧边图形（均匀弯曲） 有限次四则运算,17世纪微积分的创造开始了高等数学时期 -变量数学时期,微积分最初解决的四类问题： 1 变速直线运动物体的瞬时速度与加速度 2 求曲线的切线问题 3 求函数的最值问题 4 求不规则图形的面积,微积分Calculus（无穷小分析）分为微分和积分两大部分，微分和积分是一对逆运算，历史上是先产生积分学后产生的微分学。,微分学的主要内容：极限理论、导数、微分等。,积分学的主要内容：定积分、不定积分等。,第一章,高等数学的基础,函数,极限, 研究的对象, 研究的方法,一元函数,第一节,一元函数,二、函数的概念及图形,四、反函数与复合函数,五、函数的运算,六、基本初等函数,三、函数可能具有的几种特性,第一章,七、初等函数,一、实数集 邻域,一、实数集 邻域,集合的定义,集合的运算,并，交，差,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,不含任何元素的集合称为空集.,邻域,.,(,),二、函数的概念及图形,1.常量与变量,在某过程中数值保持不变的量称为 常量,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为 变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,2. 函数的概念,定义1 设非空数集,x 称为自变量,y 称为因变量 ,D 称为定义域 ,y 的全体 称为值域 .,函数图形:,称点集,为函数 f 的图形.,变量 y 按照一定法则总有唯一确定的数值和它对应,则称 y 是 x 的函数，记为,注 1 函数的二要素 定义域 D 对应法则 f,Rf,对应法则 f,自变量,因变量,例1,下列各组函数是否相同？,(1),答：不同, 因为二者定义域不同. 前者的定义域为,(2),而后者的定义域为,答：不同, 因为二者的 对应法则不同.,注,答：相同.,(3),两个函数是否相同，仅取决与D 和 f，而与f 的表达形式无关，也与变量的记号无关!,2 定义域：,使表达式及实际问题都有意义的自变量所能取得的一切实数值所组成的集合.,例2,解,3 函数的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法.,(1)符号函数,3. 几个特殊的函数举例,(2) 绝对值函数,(3) 取整函数 y = x, x R,阶梯曲线,x表示不超过 x 的最大整数.,(4) 狄利克雷函数,(5) 数列,数列也是一类函数, 它的定义域是全体正整数,它的图形是平面上的一些孤,构成的集合,立点的集合.,三、函数可能具有的几种特性,设函数,又数集,1. 有界性,为有界函数.,有,若,则称 f (x)为偶函数;,若,则称 f (x)为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,则当,为奇函数时,2. 奇偶性,偶函数的图形关于y 轴对称 奇函数的图形关于原点对称,例4,证 令,则,由,消去,得,显然,又,在 I 上单调减少.,当,时,称,在 I 上单调增加；,称,单调增加或单调减少的函数 统称为单调函数.,3. 单调性,注 函数单调与否同所论区间有关.,4. 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 T 为周期.,周期为 ,周期为,( 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 ).,例如: 常量函数, 狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数;,注,并非任何一个周期函数都有最小正周期.,每一个正数都是其周期.,每一个正有理数都是其周期.,这两个函数均无最小正周期!,例5 设函数,的图形关于,均对称, 求证,是周期函数.,证,由,的对称性知,于是,故,是周期函数 ,周期为,四、 反函数与复合函数,1. 反函数的定义及性质,定义,对于以D为定义域，f (D)为值域的函数y =f (x),习惯上 ,的反函数记成,例如, 函数,其反函数为,性质:,(1) 函数,与其反函数,的图形关于,直线,对称 .,其反函数,(减),(减) .,(2) 单调递增,也单调,递增,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线,对称 .,指数函数,例6,解,分段函数的反函数应当逐段求：,解得,反函数为,解得,反函数为,又对于直接函数 y = x 3 来说其值域为 1, 8 ，,故反函数 的定义域为 1, 8 ;,x 1, 8 ;,解得,反函数为,综上所述，所求反函数为,2. 复合函数,定义:,注,1 并非任何两个 函数都能构成复合函数， 函数的复合是有条件的.,条件：,如：,解,故,例7,统称为 基本初等函数.,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,五、基本初等函数,1、幂函数,2、指数函数,3、对数函数,4、三角函数,正割函数,余割函数,5、反三角函数,六、初等函数,由常数及基本初等函数,称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和,复合步骤所构成 ,可表为,故为初等函数.,为奇函数,(1) 双曲正弦,记,1. 双曲函数,(2) 双曲余弦,为偶函数,记,工程中常用的一类初等函数:,为奇函数,(3) 双曲正切,记,内容小结,定义域 对应规律,2. 函数的特性,有界性, 奇偶性, 单调性, 周期性,3. 初等函数的结构,1. 函数的定义及函数的二要素,例3-1 已知函数,求,及,解,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,例4-1,证明,设f(x)是定义在(-a,a)内的任意函数，证明 （1）f(x)+f(-x)是偶函数； （2）f(x)-f(-x)是奇函数； （3）f(x)总可以表示为一个偶函数与一个 奇函数之和.,(1)令F(x)=f(x)+f(-x),因为在对称区间(a,-a)内，,有 F(-x)=f(-x)+f(x),=f(x)+f(-x)=F(x),所以，F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数.,(2)令F(x)=f(x)-f(-x),所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.,(3)作以上两个函数的线形组合,可得,f(x)=,即 f(x)表示一个偶函数与一个奇函数之和.,F(-x)=f(-x)-f(x),=-f(x)-f(-x)=-F(x),例6 -1 求,的反函数及其定义域.,解,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,令,则,故,解,例7-1,例7-2,解,例7-3,解,例7-4,解,0,1,-1,x,y,例7-5,已知,解,故,又因,所以,积分学的历史可追溯到遥远的古希腊，从欧多克索斯（柏拉图时代最伟大的数学家和天文学家）的穷竭法，阿基米德的平衡法，到中国古代科学家刘徽的割圆术，纵跨了二千年的时间。,穷竭法：如果从任意一个量中减去一个不小于其一半的部分，再从余下的部分减去一个不小于其一半的部分，等等一直下去，则最终将剩下一个比任意事先给定的一个同类量为小的量,割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割。,莱布尼兹1646年出生在德国的莱比锡，15岁进入大学学习法律，毕业之后从事外交工作，26岁时与荷兰数学家物理学家天文学家惠更斯的会晤，激起了他对数学的兴趣。,他是数学史上最伟大的符号学者，他在创造微积分的过程中花了很多的时间去选择精巧的符号，现在微积分的符号基本上都是他创造的。,
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