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专题十二 机械振动和机械波,高考物理（浙江专用）,考点一机械振动 考向基础 一、振动及描述振动的物理量 1.机械振动:物体(或质点)在平衡位置附近所做的往复运动称为机械振动,简称振动。 2.回复力:振动物体所受的总是指向平衡位置的力。它可以是某一个力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,属于效果力,在具体问题中要注意分析是什么力提供了回复力。,考点清单,3.位移x:由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段,是矢量,其最大值等于振幅。 无论振子从什么位置开始振动,其位移总是以平衡位置为初位置。 4.振幅A:振动物体离开平衡位置的最大距离,是标量,表示振动的 强弱。 5.周期T和频率f:表示振动快慢的物理量,两者互为倒数关系,当T和f由振动系统本身决定时,则叫固有周期和固有频率。,二、简谐运动,三、简谐运动的两种基本模型,四、固有振动、受迫振动和共振的关系比较,考向突破 考向一简谐运动的描述 简谐运动的五个特征 1.动力学特征:F回=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数。 F=-kx是判定一个物体是否做简谐运动的依据。 2.运动学特征:简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反,为变加速运动。远离平衡位置时x、F、a均增大,v减小,靠近平衡位置时则相反。 3.运动的周期性特征:相隔nT(n为正整数)的两个时刻振子处于同一位置且运动状态相同。,4.对称性特征 (1)相隔T/2或(2n+1)T/2(n为正整数)的两个时刻,振子位置关于平衡位置对称。位移、速度、加速度大小相等,方向相反。 (2)质点在距平衡位置相等距离的两个点上具有相等大小的速度、加速度,在关于平衡位置对称相等距离上的运动时间也是相同的。 (3)经过1个周期,质点走过的路程一定为4倍振幅;经过半个周期,质点走过的路程一定为2倍振幅;但经过四分之一个周期,质点走过的路程不一定为1倍振幅。 5.能量特征:振动的能量包括动能和势能,简谐运动过程中,系统动能Ek与势能Ep相互转化,系统的机械能守恒。,例1(多选)读下表:,如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系,T是振动周期,则下列选项中正确的是() A.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度v B.若丁表示位移x,则甲表示相应的速度v C.若丙表示位移x,则甲表示相应的速度v D.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v,解析仔细观察表中的每行便可发现,对于每一行,无论甲(或乙、丙、丁)是表示位移还是速度,该行所列出的与表中几个特定时刻所对应的状态都是符合简谐运动规律的。 若甲表示位移x,根据甲行画出振动图像如图甲,符合以丙作为速度时,丙行所给出的速度随时间的变化关系,故选项A正确。 若丁表示位移x,根据丁行画出振动图像,见图乙,符合以甲作为速度时,甲行所给出的速度随时间的变化关系,故选项B也正确。,同理,若以丙、乙表示位移x,画出振动图像如图丙、图丁,可见选项C、D均错误。本题的正确选项为A、B。,答案AB,考向二单摆 对单摆周期公式T=2的理解 1.公式成立的条件是单摆的摆角必须小于5。 2.单摆的振动周期与单摆的振幅无关,与摆球的质量也无关。 3.周期公式中摆长为l:摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。 4.单摆周期公式中的g值 (1)只受重力和线拉力,且悬点静止或做匀速直线运动的单摆,g为当地重力加速度,在地球上不同位置g的取值不同,不同星球表面g值也不相同。 (2)单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g=g0+a或g=g0-a,如在轨道上运动的卫星加速度a=g0,为完全失重,等效重力加速度g=0。,例2(2017浙江宁波诺丁汉大学附中期中,15)将一单摆向左拉至水平标志线上,从静止释放,当摆球运动到最低点时,摆线碰到障碍物,摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片,以下说法正确的是() A.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为94 B.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为32 C.摆球经过最低点时,线速度变小,半径减小,摆线张力变大 D.摆球经过最低点时,角速度变大,半径减小,摆线张力不变,解析由单摆的周期公式T=2可知,LT2,由于是频闪照片,图中相 邻两小球的影像的时间间隔是相同的,所以周期之比是32,周期平方之比是94,A正确,B错误。由机械能守恒知,摆球经过最低点时,线速度不变,由T-mg=m可知,r减小,摆线张力T变大,故C、D错误。,答案A,考点二机械波 考向基础 一、机械波,二、机械波的描述 1.波长:在波动中,振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离叫做波长。 2.频率f:波的频率就是波源的振动频率。 3.波速v:波在介质中的传播速度。 4.波速与波长和频率的关系:v=f。 三、波的图像 1.图像的建立:在平面直角坐标系中,用横坐标表示介质中各质点平衡位置,用纵坐标表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移, 连接各位移矢量的末端,得出的曲线即波的图像。简谐波的图像是正弦(或余弦)曲线。,2.图像的物理意义:某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移。 四、波的特性 1.波的干涉 (1)波的叠加:几列波相遇时能够保持各自的运动状态继续传播,在它们重叠的区域里,介质的质点同时参与这几列波引起的振动,质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。 (2)波的干涉稳定的叠加 a.定义:频率相同的两列波叠加时,某些区域的振幅加大 ,某些区 域的振幅减小,这种现象叫波的干涉。 b.产生干涉的条件:两列波的频率必须相同,相位差恒定。,注意加强区的质点振动加强只是其振幅变大,并不是质点一直处于位移最大处,质点的位移随时间仍然按照正弦(或余弦)规律变化。 2.波的衍射 (1)定义:波绕过障碍物继续传播的现象。 (2)产生明显衍射现象的条件:障碍物的尺寸或孔(缝)的宽度跟波长 相差不多,或者比波长更小。 3.多普勒效应 (1)定义:由于波源和观察者之间有相对运动,使观察者接收到的波的频率发生变化的现象叫多普勒效应。 (2)产生条件:波源和观察者之间有相对运动。 (3)规律:当波源与观察者相互靠近时,观察者感受到的频率升高;,当波源与观察者相互远离时,观察者感受到的频率降低。 发生多普勒效应时,波源的真实频率不会发生任何变化,只是观察者接收到的频率发生了变化。 五、惠更斯原理 1.波面与波线 (1)波面:在波的传播过程中,任一时刻任何振动状态都相同的点 所组成的面。 (2)波线:与波面垂直的那些线,代表了波的传播方向。 2.波的分类 (1)球面波:由空间一点发出的波,它的波面是以波源为球心的一 个个球面,波线就是这些球面的半径。,(2)平面波,指波面是平面的波。 3.惠更斯原理:介质中任一波面上的各点,都可以看作发射子波的 波源,其后任意时刻,这些子波在波前进方向的包络面就是新 的波面。,六、惠更斯原理的应用 如果知道某时刻一列波的某个波面的位置,还知道波速, 利用惠更斯原理可以得到下一时刻这个波面的位置,从而确定 波的传播方向。但无法说明衍射现象与狭缝或障碍 物的大小的关系。,考向突破 考向波的图像 1.导致“波动问题多解性”的原因 波的传播过程中时间上的周期性、空间上的周期性以及传播方向上的双向性是导致“波动问题多解性”的主要原因。若题目加设一定的条件,可使无限系列解转化为有限解或唯一解。具体表现有: (1)波的传播方向不确定必有两种可能解; (2)波形移动的距离x与波长的关系不确定,必有系列解,若x与有一定的约束关系,可使系列解转化为有限解或唯一解; (3)波形变化的时间t与周期T的关系不确定,必有系列解,若t与T有一定的约束关系,可使系列解转化为有限解或唯一解; (4)两质点间的波形不确定形成多解,例如一列简谐横波沿水平方向向,例3一列简谐横波在x轴上传播如图所示,实线为t=0时刻的波形图,虚线为t=0.2 s后的波形图。则 (1)此波的波速多大? (2)若2TT,且波速为85 m/s,波传播的方向如何?,解题思路由于题中未交代波的传播方向,故需考虑波传播方向的双 向性,分别对波沿x轴正向与沿x轴负向传播进行分析。,解析(1)若波沿x轴正方向传播,波形向右至少要平移的距离,由于 题中没有给出时间间隔与周期之间的大小关系,因而波传播的距离x1=n+,波速v1=。 由图知=4 m,故v1=20 m/s(n=0,1,2,)。 若波沿x轴负方向传播,波形向左至少要平移的距离,同上,波传播 的距离x2=n+,波速v2=。故v2=20 m/s(n=0,1,2, )。 (2)当2Tt3T时,由波的传播特点,波源每完成一次全振动,波向前推进,一个波长,故可将时间限制条件转换成空间限制条件:2x3,则上述通解表达式中的n均取2,波沿x轴正向传播速度v1=45 m/s,波沿x轴负向传播速度v2=55 m/s。 (3)由简谐波的传播距离公式x=vt得x=850.2 m=17 m=4+, 说明波是向右传播的。,答案见解析,2.振动图像与波动图像的比较,续表,解决两种图像结合问题的基本思路如下: (1)首先识别哪一个是波动图像,哪一个是振动图像,两者间联系的纽带是周期与波长。 (2)再从振动图像中找出所描述的质点在波动图像中的那一时刻的振动方向,然后再确定波的传播方向及其他问题。,例4(2018浙江诸暨牌头中学期中,15)(多选)如图所示,甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图,乙为介质中x=2 m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图像,质点Q的平衡位置位于x=3.5 m处。下列说法正确的是() A.这列波沿x轴正方向传播 B.这列波的传播速度是20 m/s C.在 0.3 s时间内,质点P向右移动了3 m D.t=0.1 s时,质点P的加速度大于质点Q的加速度 E.t=0.25 s,x=3.5 m处的质点Q到达波峰位置,解析由乙图可知,此时P质点向上振动,再由甲图上P的振动方向,可以确定波向x轴正方向传播,A选项是正确的。由乙图可读出周期T=0.4 s,由甲图可读出波长=4 m,由v=可得v=10 m/s,因此B选项是错误的。P 质点只能在自己的平衡位置附近振动,并不随波移动,所以C选项是错误的。在t=0.1 s时,由乙图可知P质点在正向最大位移处,而Q质点不在最大位移处,所以P质点在t=0.1 s时的加速度大于质点Q在0.1 s时的加速度,D选项是正确的。在t=0.25 s时,波沿x轴正方向传播了s=vt=2.5 m,x=1 m处的质点的振动情况传播到了Q质点,所以Q质点在t=0.25 s时到达了波峰位置,所以E是正确的。,答案ADE,方法1简谐运动的分析方法 1.对称法 (1)远离平衡位置的过程:由F=-kx=ma可知,x增大,F增大,a增大,但a与v反向,故v减小,动能减小。 (2)靠近平衡位置的过程:由F=-kx=ma可知,x减小,F减小,a减小,但a与v同向,故v增大,动能增大。 (3)经过同一位置时,位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同,但速度、动量不一定相同,方向可能相反。,方法技巧,例1(多选)一简谐振子沿x轴振动,平衡位置在坐标原点。t=0时刻振子的位移x=-0.1 m;t= s 时刻x=0.1 m;t=4 s时刻x=0.1 m。该振子的振幅和 周期可能为() A.0.1 m, sB.0.1 m,8 s C.0.2 m, sD.0.2 m,8 s,解析若振幅A=0.1 m,T= s,则 s为半周期,从 -0.1 m 处运动到0.1 m, 符合运动实际,4 s- s= s为一个周期,正好返回 0.1 m处,所以A项正 确。若A=0.1 m,T=8 s, s只是T的,不可能由负的最大位移处运动到正 的最大位移处,所以B项错误。若A=0.2 m,T= s, s=,振子可以由-0.1 m运动到对称位置,4 s- s= s=T,振子可以由0.1 m返回0.1 m,所以C项 正确。若A=0.2 m,T=8 s, s=2,而sin=,即时间内,振子可 以从平衡位置运动到0.1 m处;再经 s又恰好能由 0.1 m 处运动到0.2 m 处后,再返回0.1 m处,故D项正确。,答案ACD,2.图像法 (1)确定振动物体在任一时刻的位移。如图,对应t1、t2时刻的位移分别为x1=7 cm,x2=-5 cm。 (2)确定振动的振幅。图像中最大位移的大小就是振幅,如图所示,振幅 是10 cm。,(3)确定振动的周期和频率。振动图像上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。 由图可知,O与D、A与E、B与F的间隔都等于振动周期,T=0.2 s,频率f=1/T=5 Hz。 (4)确定各质点的振动方向。例如图中的t1时刻,质点正远离平衡位置向正方向运动;在t3时刻,质点正向着平衡位置运动。 (5)比较各时刻质点加速度的大小和方向。例如在图中t1时刻质点位移x1为正,则加速度a1为负,t2时刻质点位移x2为负,则加速度a2为正,又因为|x1|x2|,所以|a1|a2|。,例2一弹簧振子做简谐运动,周期为T,则() A.若t时刻和(t+t)时刻振子运动的位移大小相等、方向相同,则t一定等于T的整数倍 B.若t时刻和(t+t)时刻振子运动的速度大小相等、方向相反,则t一定等于T/2的整数倍 C.若t=T,则在t时刻和(t+t)时刻振子运动的加速度一定相等 D.若t=T/2,则在t时刻和(t+t)时刻弹簧的长度一定相等,解析设弹簧振子的振动图像如图所示。B、C两点的位移大小相等、方向相同,但B、C两点的时间间隔tnT(n为整数),A错误;B、C两点的速度大小相等、方向相反,但t(n为整数),B错误;因为A、D两点的 时间间隔t=T,A、D两点的位移大小相等,所以A、D两点的加速度一定相等,C正确;A、C两点的时间间隔t=T/2,A点与C点位移大小相等、方向相反,在A点弹簧若是伸长的,则在C点弹簧是压缩的,所以在A、C两点弹簧的形变量大小相同,而弹簧的长度不相等,D错误。,答案C,方法2判断波的传播方向和质点的振动方向的方法 方法一:上下坡法 沿波的传播方向看,“上坡”的点向下振动,“下坡”的点向上振动,简称“上坡下,下坡上”。(如图甲所示),方法二:同侧法 在波的图像上的某一点,沿纵轴方向画出一个箭头表示质点振动方向,并设想在同一点沿x轴方向画个箭头表示波的传播方向,那么这两个箭头总是在曲线的同侧。(如图乙所示),方法三:带动法(特殊点法) 如图丙所示为一沿x轴正方向传播的横波,根据波的形成,靠近波源的点能带动它邻近的离波源稍远的点,可判断质点的振动方向。在质点P附近靠近波源一方的图线上另找一点P,若P在P上方,P带动P向上运动,则P向上运动;若P在P下方,P带动P向下运动,则P向下运动。,方法四:微平移法(波形移动法) 作出经微小时间t(tT/4)后的波形(如图丁所示),就知道了各质点经过t时间达到的位置,质点运动方向就知道了。,例3一列简谐横波沿x轴传播,t=0时刻的波形如图甲所示,此时质点P正沿y轴负方向运动,其振动图像如图乙所示,则该波的传播方向和波速分别是() A.沿x轴负方向,60 m/s B.沿x轴正方向,60 m/s C.沿x轴负方向,30 m/s D.沿x轴正方向,30 m/s,解题思路由甲、乙图分别得出、T,由v=求解v;由带动法确定传播 方向。,解析因t=0时质点P向下振动,而由图甲可以看出与质点P相邻的右侧质点位于质点P下方,故质点P的振动是由其右侧质点引起的,波沿x轴负方向传播,B、D皆错误。由图甲可得该波波长=24 m,由图乙可得周期T=0.4 s,故波速v=60 m/s,A正确,C错误。,答案A,例4(2018浙江台州期末,15)(多选)一列波的波源S在O点做竖直方向、频率为10 Hz的简谐运动。t0时刻,向右传播的波形如图所示,向左传播的波形未画出() A.t0时刻,x=1 m处的质点振动方向向上 B.t0时刻,x=-2 m处的质点振动方向向上 C.t0+0.175 s时刻,x=-1 m处的质点处在波谷位置 D.t0-0.125 s时刻,x=1 m处的质点处在波峰位置,解析t0时刻,由波的传播方向,可知x=1 m处的质点向上运动,故A正确;t0时刻x=-2 m处的质点与x=2 m处的质点振动方向相同,由波的传播方向知振动方向向下,故B错误;波的周期为:T= s=0.1 s,则t0+0.175 s时 刻为又经过了1T,x=-1 m处的质点处于波谷,故C正确;在t0-0.125 s时刻, x=1 m处的质点处于波谷,故D错误。,答案AC,方法3利用波传播的周期性、双向性解题的方法 1.波的图像的周期性:相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同,从而使题目的解答出现多解的可能。 2.波传播方向的双向性:在题目未给出传播方向时,要考虑到波可沿x轴正向或负向传播两种可能性。,例5一列简谐横波在x轴上传播,在t1=0和t2=0.05 s时,其波形分别用如图所示的实线和虚线表示,求: 这列波可能具有的波速。 当波速为280 m/s时,波的传播方向如何?以此波速传播时,x=8 m处的质点P从t1=0时刻所处位置运动至波谷所需的最短时间是多少?,解题思路关键词:在x轴上传播;t1=0时刻所处位置;最短时间。题中只说明波在x轴上传播,所以有向左、向右两种可能,同时波在传播过程中质点的振动具有周期性,因此造成多解。,解析若波沿x轴正向传播,则: s=x1+n=(2+8n)m,n=0,1,2, v= m/s=(40+160n) m/s 若波沿x轴负向传播,则: s=x2+n=(6+8n)m,n=0,1,2, v= m/s=(120+160n) m/s 当波速为280 m/s时,有280 m/s=(120+160n) m/s,n=1,所以波向x轴负方向传播 T= s 所以P质点从t1=0时刻所处位置运动至波谷所需最短时间为:,t= s=2.110-2 s,答案见解析,方法4利用“补全法”解决综合问题 有些题目中没有给出完整的波形,这时可以根据题目信息将剩余波形补全,从而得到波长等关键元素,找到解题的突破口。补全时重点关注两个方面: 波的最前端是波峰还是波谷,这取决于波源的起振方向(如图) 图像重复几个周期,这取决于题干条件。例如“此时A点第一次到达波峰”,则只需要补一个波峰即可。若是“B点第二次到达波谷”,则需要补两个波谷,其他情况依次类推。,例6(2017浙江4月选考,15,2分)(多选)一列向右传播的简谐横波,当波传到x=2.0 m处的P点时开始计时,该时刻波形如图所示。t=0.9 s时,观测到质点P第三次到达波峰位置。下列说法正确的是() A.波速为0.5 m/s B.经1.4 s质点P运动的路程为70 cm C.t=1.6 s时,x=4.5 m处的质点Q第三次到达波谷 D.与该波发生干涉的另一列简谐横波的频率一定为2.5 Hz,解析根据同侧法可知,起振方向为竖直向上。P点第三次到达波峰即T=0.9 s,T=0.4 s,所以波速v=5 m/s,所以A选项错误。1.4 s相当 于3.5个周期,每个周期质点运动路程为20 cm,所以B正确。经过t= s=0.5 s波传到Q处,再经过2.75T即1.1 s后Q第三次到达波谷,选项 C正确。要发生干涉现象,另外一列波的频率一定为2.5 Hz,选项D正确。,答案BCD,
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