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第二篇重点专题分层练，中高档题得高分,第26练应用题中档大题规范练,明晰考情 1.命题角度：应用题是江苏高考必考题，常见模型有函数、不等式、三角函数等. 2.题目难度：中档难度.,核心考点突破练,栏目索引,模板答题规范练,考点一建立函数模型,方法技巧现实生活中存在的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.,核心考点突破练,解答,解答,(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.,解设总利润f(x)xq(x)，,所以当x20时，f(x)有最大值120 000.,令f(x)0，得x80.,当20 x80时，f(x)0，f(x)单调递增， 当80 x180时，f(x)0，f(x)单调递减， 所以当x80时，f(x)有最大值240 000. 当x180时，f(x)0. 答当x为80时，总利润取得最大值240 000元.,解答,2.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120，OC1，ABOBOC，且OAOB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与AOC的面积成正比，比例系数为 .设OAx，OBy.,(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；,解在AOB中，AOB120，OAx，OBy，ABy1. 由余弦定理，得(y1)2x2y2xy，,(2)求NM的最大值及相应的x的值.,解答,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：,解答,3.如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD， 其四条边均为道路，ADBC，ADC90， AB5千米，BC8千米，CD3千米.现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/时. (1)若甲、乙两管理员到达D地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；,解由题意，可得AD12千米.,(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米，若乙先到达D地，且乙从A地到D地的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围.,解答,解方法一设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t).,f(t)(126t)2(16vt)2，,方法二设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t).,以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系，,当5vt13时，f(t)(vt16t)232.,由于(vt16t)23225，,又因为016vt3， 所以f(t)(126t)2(16vt)2423225恒成立.,设从A地出发经过t小时，甲、乙两管理员的位置分别为P，Q，,因为v8，所以在相应的t的范围内，,解答,4.如图，相距14 km的两个居民小区M和N位于河岸l(直线)的同侧，M和N到河岸的距离分别为10 km和8 km.现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，并从P分别排设到两个小区的直线水管PM，PN和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道.设PQ段水管长为t km(0t8). (1)求污水处理站P到两小区水管的长度之和的最小值(用t表示)；,解如图，以河岸l所在直线为x轴，以过点M垂直于l的直线为y轴，建立平面直角坐标系，,所以PMPNPMPNMN,(2)试确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长度最小，并分别求出此时污水处理站到两小区水管的长度.,解答,解设三段水管总长为L km，则由(1)知,所以(Lt)24(t218t129)，即3t2(2L72)t(516L2)0， 所以方程3t2(2L72)t(516L2)0在t(0,8)上有解， 故(2L72)212(516L2)0， 即L218L630，解得L21或L3，所以L的最小值为21，,考点二建立不等式模型,方法技巧在实际问题中，诸如增长率、降低率、设计优化问题大多可归结为不等式问题，即通过建立相应的不等式模型来解决.,解答,5.北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？,整理得t265t1 0000，解得25t40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.,解答,答当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.,解答,6.如图，墙上有一幅壁画，最高点A离地面4 m，最低点B离地面2 m，观察者从距离墙x m(x1)，离地面高a m(1a2)的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB. (1)若a1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？,解当a1.5时，过点C作AB的垂线，垂足为D， 则BD0.5 m，且ACDBCD，,所以tan tan(ACDBCD),解答,所以a26a8x24x， 当1a2时，0a26a83，所以0 x24x3，,又因为x1，所以3x4，所以x的取值范围为3,4.,解答,7.某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍. (1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式； 解依题意得ymknmk(ax5)，xN*.,(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3.问：P能否大于 ？并说明理由.,解答,解方法一依题意x0.2a.,方法二依题意得x0.2a.,因为k3，所以100(4k2)0，,8.如图，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，离园区中心O点5 km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域. (1)设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较小区域面积的最小值；,解答,解如图1，作OHAB，设垂足为H，记OHd，,图1,要使有最小值，只需要d有最大值，结合图象， 可得dOP5 km，当且仅当ABOP时，dmax5 km.,设AB把园区分成两个区域，其中较小区域的面积记为S， 由题意得Sf()S扇形SAOB50(sin )， f()50(1cos )0恒成立，所以f()为增函数，,(2)为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值.,解答,解如图2，过O分别作OHAB，OH1CD，垂足分别是H，H1，记OHd1，OH1d2，由(1)可知d10,5，,图2,考点三建立三角模型,方法技巧诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，可运用三角函数知识求解.,9.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：,(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；,解由已知可设y40.540cos t，t0， 由周期为12分钟可知，当t6时，摩天轮第1次到达最高点， 即此函数第1次取得最大值，,解答,解答,(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？,解设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米.,解得t04或t08， 所以t8(分钟)时，第2次距地面60.5米， 故第4次距离地面60.5米时，用了12820(分钟).,解答,10.如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2 km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形PRQ构成，其中O为PQ的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C，D分别在线段QR，PR上，另外两个顶点A，B在半圆上，ABCDPQ，且AB，CD间的距离为1 km.设四边形ABCD的周长为c km. (1)若C，D分别为QR，PR的中点，求AB的长；,解如图，连结RO并延长分别交AB，CD于M，N，连结OB. 因为C，D分别为QR，PR的中点，PQ2，,因为PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，,解答,(2)求周长c的最大值.,在RtBMO中，BO1，所以BMsin ，OMcos . 因为MN1，所以CNRN1ONOMcos ，,11.在一个直角边长为10 m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在ABC的三条边上，且要使PQR的面积最小.现有两种设计方案(如图所示)： 方案一：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上； 方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上. 请问应选用哪一种方案？并说明理由.,解答,解方案一：过点Q作QMAC于点M，作QNBC于点N(如图所示)， 因为PQR为等腰直角三角形，且QPQR， 所以RMQPNQ， 所以QMQN，从而Q为AB的中点， 则QMQN5 m，,方案二：设CQx，RQC，(0，90)，,在BPQ中，PQB90，,因为(sin 2cos )25，,所以SPQR的最小值为10 m2.,综上，应选用方案二.,解答,12.某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O附近.现派出四艘搜救船A，B，C，D，为方便联络，船A，B始终在以小岛O为圆心，100海里为半径的圆周上，船A，B，C，D构成正方形编队展开搜索，小岛O在正方形编队外(如图).设小岛O到AB的距离为x，OAB，船D到小岛O的距离为d.,(1)请分别求出d关于x，的函数关系式dg(x)，df()， 并分别写出定义域；,解设x的单位为百海里. 由OAB，AB2OAcos 2cos ，ADAB2cos ， 在AOD中，ODf(),解答,(2)当A，B两艘船之间的距离是多少时，搜救范围最大(即d最大)?,解OD24cos214cos sin ,模板答题规范练,模板体验,例(14分)如图，在半径为30 cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD(点A，B在直径上，点C，D在半圆周上)，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)， (1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？ (2)若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？,审题路线图,规范解答评分标准,解(1)如图，设圆心为O，连结OC，设BCx，,所以矩形ABCD的面积为S()230sin 30cos 900sin 2， 3分,(2)设圆柱的底面半径为r，体积为V，,构建答题模板 第一步审题：阅读理解，审清题意 第二步建模：引进数学符号，建立数学模型. 第三步解模：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果. 第四步回答：将所得结果再转译成具体问题的解答.,规范演练,1.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m的围墙.现有两种方案： 方案多边形为直角三角形AEB(AEB90)，如图1所示，其中AEEB30 m； 方案多边形为等腰梯形AEFB(ABEF)，如图2所示，其中AEEFBF10 m. 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案.,解答,图1,图2,解设方案，中多边形苗圃的面积分别为S1，S2.,解答,因为1x14，所以1x6. 设该商品的月销售额为g(x)，,由g(x)0，得x8， 所以g(x)在6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数，,解答,(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围.,因为a0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数， 若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间6,14)上有零点，,解答,3.如图，某城市有一个边长为4百米的正方形休闲广场，广场中间阴影部分是一个雕塑群.建立坐标系(单位：百米)，则雕塑群的左上方边缘曲线AB是抛物线y24x(1x3，y0)的一段.为方便市民，拟建造一条穿越广场的直路EF(宽度不计)，要求直路EF与曲线AB相切(记切点为M)，并且将广场分割成两部分，其中直路EF左上部分建设为主题陈列区.记M点到OC的距离为m(百米)，主题 (1)当M为EF的中点时，求S的值；,陈列区的面积为S(万平方米).,解答,(2)求S的取值范围.,解答,4.某海滨浴场一天的海浪高度y(m)是时间t(0t24)(h)的函数，记作yf(t)，下表是某天各时的浪高数据：,(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系；,解以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：,(2)依据规定，当海浪高度不少于1 m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8 h至20 h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？,解答,解由题意，可知y1，,又0t24，所以0t3或9t15或21t24. 故一天内的8 h至20 h之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪， 即9 h至15 h.,即12k3t12k3(kZ).,本课结束,
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