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5过直线Ax+By+C=0与圆x+y+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程x+y+Dx+Ey+F+（Ax+By+C）【例】求过两圆x+y4x+2y=0和x+y2y4=0的交点，且圆心在直线2x+考点58直线系方程与圆系方程要点阐述1与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+m=0；2与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为BxAy+m=0；3过定点（x，y）的直线系方程：A(x-x)+B(y-y)=0（A,B不同时为0）；00004过直线n：Ax+By+C=0（A,B不同时为0）与m：Ax+By+C=0（A,B不同时为0）交1111122222点的直线系方程为：Ax+By+C+l(Ax+By+C)=0（lR，l为参数）；1112222222=0；6过和交点的圆系方程为典型例题22224y=1上的圆方程_，此时圆心到x轴的距离_【答案】x+y3x+y1=0，2212【解题技巧】在遇到过圆与圆交点的圆有关问题时，灵活应用圆系方程，可简化繁杂的解题过程1小试牛刀1已知点P(x,y00)是直线l:Ax+By+C=0外一点，则方程Ax+By+C+(Ax0+By+C)=0表示0（）A过点P且与l垂直的直线C不过点P且与l垂直的直线【答案】D【解析】B过点P且与l平行的直线D不过点P且与l平行的直线0)2求经过点B(3，且与直线2x+y-5=0垂直的直线的方程_【答案】x-2y-3=00)【解析】设与直线2x+y-5=0垂直的直线系方程为x-2y+n=0，因为经过点B(3，所以n=-3，故所求直线方程为x-2y-3=0【解题技巧】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算xy=03不论k为何实数，直线（2k1）（k+3）（k11）恒通过一个定点，这个定点的坐标是_【答案】(2,3)【解析】4设直线l经过2x3y+2=0和3x4y2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的方程_2整理得(2+3)x(4+3)y2+2=0,由题意,得2+3l【答案】xy4=0,或x+y24=0【解析】设所求的直线方程为(2x3y+2)+(3x4y2)=0,5=1,解得=1,或=3+4l7所以所求的直线方程为xy4=0,或x+y24=0【易错易混】对求过定点（x，y）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00A(x-x)+B(y-y)=0，注意的此方程表示的是过点P(x，y)的所有直线（即直线系），应用这种0000直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象35求经过两直线l：x-2y+4=0和l：x+y-2=0的交点P，且与直线l：x-4y+5=0垂直的直线l的方123程_【答案】4x+3y-6=0考题速递1已知直线l:(a+2)x+3y=5与直线l:(a-1)x+2y=6平行，则直线l在x轴上的截距为（）121B5A-19C1D2【答案】B【解析】由已知得2(a+2)=3(a-1)，得a=7，则直线l在x轴上的截距为12平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A2x-y+5=0或2x-y-5=059,故选B322+12=5，解得c=5，所以所求切线3过直线2x+y+4=0和圆x+y+2x4y+1=0的交点，面积最小的圆方程_，【答案】5x+5y+26x12y+37=0B2x+y+5=0或2x+y-5=0C2x-y+5=0或2x-y-5=0D2x+y+5=0或2x+y-5=0【答案】D【解析】依题可设所求切线方程为2x+y+c=0，则有0+0+c的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0，故选D22圆的面积为_224已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3xy+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程【解析】由x+y+2=03x-y+3=053得一顶点为(-,)44因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为(2935,)44设与x+y+2=0平行的对边所在直线方程为x+y+m=0,因为该直线过(29,35),44所以m=16设与3xy+3=0平行的对边所在直线方程为3xy+n=0,4同理可知过点(2935,),44得n=13故所求直线的方程为x+y16=0和3xy13=0数学文化平行直线系两条平行的直线永远不会有交集5
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