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第2讲函数的应用,专题六函数与导数,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现. 2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,1.零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根. 2.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.,热点一函数的零点,解析,答案,A.6 B.7 C.5 D.8,由图象可知，共有8个交点，故选D.,解析,答案,(2)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x1)f(1x)，且当x4,1)时， f(x) ，g(x)2sin x是以1为最小正周期的函数，则函数F(x)f(x) g(x)，x3,5的所有零点之和等于 A.17 B.16 C.4 D.2,解析因为函数f(x)满足f(x1)f(1x)， 所以f(1)0，函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称， 因为g(x)2sin x是以1为最小正周期的函数， 所以2，g(x)2sin 2x. 令F(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x).,所以可作出当x3,5时，函数f(x)与g(x)的图象如图所示，,根据两个函数图象的交点及函数图象的对称性可设交点的横坐标由左到右依次为x1，x2，x3，x16， 交点的横坐标间的关系为x1x162，x2x152，x3x142，x8x92， 所以F(x)f(x)g(x)，x3,5的所有零点之和等于1x1x2x3x4x15x16 12817，故选A.,函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 (1)函数零点大致存在区间的确定. (2)零点个数的确定. (3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.,解析,答案,解析由f(x1)f(x1)得f(x)周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象， 图中，g(3)3log231f(3)， g(5)3log251f(5)， 可得有两个交点，所以选B.,解析,答案,(2)已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1,1时，f(x)|x|1，则方程f(x) log2|x|在区间3,5内解的个数是 A.5 B.6 C.7 D.8,解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解.,热点二函数的零点与参数的范围,解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.,例2(1)已知偶函数f(x)满足f(x1) ，且当x1,0时，f(x)x2，若在区间1,3内，函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点，则实数a的取值范围是_.,(3,5),解析,答案,且当x1,0时，f(x)x2，,函数f(x)的周期为2，在区间1,3内函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与yloga(x2)的图象在区间1,3内有3个交点. 当0a1时，函数图象无交点，,(2)(2018全国)已知函数f(x) g(x)f(x)xa.若g(x) 存在2个零点，则a的取值范围是 A.1,0) B.0，) C.1，) D.1，),解析,答案,解析令h(x)xa， 则g(x)f(x)h(x). 在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图， 如图所示. 若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点， 此时10a，a1. 当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意；,当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意. 综上，a的取值范围为1，). 故选C.,(1)方程f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数. (2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域.,解析,答案,0,1)(2，),结合图象可以看出当0k2时符合题设.,解析,答案,(4,8),解析作出函数f(x)的示意图，如图.,l1是过原点且与抛物线yx22ax2a相切的直线， l2是过原点且与抛物线yx22axa相切的直线. 由图可知，当直线yax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意.,由10，得a8(a0舍去).,由20，得a4(a0舍去).综上，得4a8.,解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域.其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式.(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果.(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.,热点三函数的实际应用问题,解答,例3经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/时)(50 x120)的关系可近似表示为：,(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？,解当x50,80)时，,当x80,120时，函数单调递减， 故当x120时，y有最小值10. 因为910，故当x65时每小时耗油量最低.,解答,(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？,当x50,80)时，,当x120时，l取得最小值10. 因为1016，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少.,(1)解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.,解答,跟踪演练3为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？,解由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为,才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.,解答,(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？,因为400 x600， 所以当x400时，S有最大值40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损.,解设该单位每月获利为S，,真题押题精练,真题体验,答案,解析,因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，,2.(2017山东改编)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与y m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是_.,答案,解析,(0,13，),分两种情形：,当x0,1时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意.,要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点， 只需g(1)f(1)，即1m(m1)2， 解得m3或m0(舍去). 综上所述，m(0,13，).,答案,解析,8,解析由于f(x)0,1)，则只需考虑1x10的情况， 在此范围内，当xQ，且xZ时，,若lg xQ，则由lg x(0,1)，,图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内xD部分，,则在x1附近仅有1个交点， 因此方程解的个数为8.,因此lg xQ，因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内xD部分的交点，画出函数草图.,押题预测,答案,解析,押题依据,押题依据函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法.,1.f(x)2sin xx1的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7,解析令2sin xx10，则2sin xx1， 令h(x)2sin x，g(x)x1，则f(x)2sin xx1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题.,画出两个函数的图象，如图所示，,两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.,答案,解析,押题依据,押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想.,要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)0恰有三个不同的实数根，,所以g(x)0的三个不同的实数根为x2(xa)， x1(xa)，x2(xa). 再借助数轴，可得1a2. 所以实数a的取值范围是1,2)，故选D.,3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.,答案,解析,押题依据,押题依据函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点.,20,解析如图， 过A作AHBC交BC于点H，交DE于点F，,FH40 x(0x40)，,当且仅当40 xx， 即x20时取等号，所以满足题意的边长x为20 m.,
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