《第1章勾股定理》同步优生提升训练2021

2021年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理同步优生提升训练(附答案)一. 勾股定理1. 如图，在四边形ABCD中，ZB=90, AB=3, BC=6,点E在BC上，AE丄DE.且2. 如图是一个四边形ABCD,若已知AB=4cm, BC=3cm, CD = 12cm, AD=13cm, ZABC= 90，则这个四边形的面积是cm2.3. 如图，ABC 中，ZACB=90, AC=6, BC=8, P 为直线 AB 上一动点，连 PC.(1) 线段PC的最小值 .(2)当PC=5时，AP长是.4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则A、B、C、D四个正方形的面积之和为cm2.5. 如图，在6X4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1,点A, B, C, D, E均在格 点上.则 ZABC _ZDCE=()ADEB/cA. 30B. 42C. 45D. 506. 如图，两个较大正方形的面积分别为225、289,则字母A所代表的正方形的面积为（）C. 16D. 647. 如图，在ABC中，ZA = 90, P是BC上一点，且DB=DC,过BC上一点P,作PE 丄AB 于 E，PF丄DC 于 F,已知：AD： DB=1： 3, BC= 4二 &,则PE+PF 的长是（）A. 4二6B. 6C. 47 2D.8. AABC 中，AB=17, AC=10，高AD=8,则AABC 的周长是()A.54B.44C.36 或 48D.54 或 339. 在 RtAABC 中，ZC=90,若 BC - AC=2cm, AB=10cm,则 RtAABC 的面积是()A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm210. 如图，以RtABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=lE，贝惬中阴影部分的面积为（）A.B.4D. 511. 在平面直角坐标系中，点A, B的坐标分别为（-6, 0）, （0, 8）.以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴于点C,则点C的坐标为（）A. (6,0)B.(4,0)C. (6,0)或(-16, 0)D.(4,0)或(-16, 0)12. 如图，ABC 中，ZABC=90, AC=25cm, BC=15cm.(1) 直接写出AB的长度.(2) 设点P在AB上，若ZP4C=ZPCA.求AP的长；(3) 设点M在AC上.若AMBC为等腰三角形，直接写出AM的长.13. 如图，4X4方格中每个小正方形的边长都为1.(1) 图中正方形ABCD的边长为;(2) 在图的4X4方格中画一个面积为8的正方形；(3) 把图中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数 80- 8.D图14. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为美丽三角形”(1) 如图，在ABC中，AB=AC=0J5, BC=4,求证：ABC是“美丽三角形”(2) 在RtAABC中，ZC=90, AC=$，若ABC是“美丽三角形”求BC的长.懂用劉15如图所示网格是由边长为1的小正方形组成，点A，B，C位置如图所示，在网格中确 定点D,使以A，B，C，D为顶点的四边形的所有内角都相等.(1) 确定点D的位置并画出以A，B，C，D为顶点的四边形；(2) 直接写出(1)中所画出的四边形的周长和面积.二. 勾股定理的证明16. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是()三. 勾股数17. 已知：整式A=n (n+6) +2 (n+8) (n0),整式B0.尝试：化简整式A;发现：A=B2，求整式B；应用：利用A=B2，填写下列表格：n (n+6)2 (n+8)240四. 勾股定理的逆定理18. 如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DEAB于点E，AB=6,皿=辽，BC=1,，则四边形ABCD的面积为 .C、D均为格点，则ZBAC -ZDAE=20. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是()A. 1，1,匚gB. 6，8，11C. 3，4，5D. 1，3， 一 521. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2, 3, 4, 5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）3, 5C. 3, 4, 5D. 2, 2, 422. 如图，四边形ABCD的三条边AB, BC, CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A fB_D以2cm/s的速度运动到点D,动点Q从点D出发沿DCBA以2.8cm/s的速 度运动到点A.若两点同时开始运动运动5s时，P, Q相距3cm.试确定两点运动5s时, 问APQ的形状.23. 已知：如图，四边形ABCD中，AB丄BC, AB=1, BC=2, CD=2, AD=3,求四边形24. (1)在 RtAABC 中，ZC=90, BC=2, AB- ! 13,求 AC 的长；(2)已知ABC中，BC-1, AC=Tg, AB-2,求证：ABC是直角三角形.25. 如图，已知在ABC 中，CD丄AB 于 D, BD = 9, BC=15, AC=20.(1) 求CD的长；(2) 求AB的长；(3) 判断ABC的形状.五. 勾股定理的应用26. 小明从A处出发沿北偏东40的方向走了 30米到达B处；小军也从A处出发，沿南偏东a(0Va0,.B2=n2+8n+16=(n+4) 2.B=n+4,当2 (斤+8)=竽_时，解得：n =24当 n (n+6)=40 时，解得：n1=4，n2= - 10 (舍去), n+4 = 8，故答案为：巧；8.4四. 勾股定理的逆定理18. 解：连接BD，点E为AB的中点，DE丄AB于点E，AB=6，DE = .;3, .EB=2aB=3,: BD=辺,3)2 + 12=( .13) 2,即 BD2+BC2=CD2, BCD是直角三角形，且ZDBC=90,四边形ABCD的面积=故答案为：4込.19. 解：如图所示，把AADE移到ACFC处，连接AG,B AD此时 /DAE=/FCG,：CFBD,AZBAC=ZFCA,:.ABAC -ZDAE=ZFCA -ZFCG=ZACG,设小正方形的边长是1,由勾股定理得：CG2=12+32 = 10, AC2=AG2=12+22=5,.AC2+AG2 = CG2, AC=AG,AZCAG=90,即AACG是等腰直角三角形，.ZACG=45,AZBAC-ZDAE=45,故答案为：45 .20. 解：A、12+12工（瓦2,不能构成直角三角形，故不符合题意；B、62+82工（11） 2,不能构成直角三角形，故不符合题意；C、32+42 = 52，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+32工（T亏）2,不能构成直角三角形，故不符合题意.故选：C.21. 解：当选取的三块纸片的面积分别是1, 4, 5时，围成的直角三角形的面积是J当选取的三块纸片的面积分别是2 , 3 , 5时,围成的直角三角形的面积是_于；当选取的三块纸片的面积分别是3 , 4 , 5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2 , 2 , 4时,围成的直角三角形的面积是_j,2 2至所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2, 3, 5, 故选：B.22. 解：5s时，动点P运动的路程为2X5 = 10 (cm),即点P运动到D点(点P与点D重 合)，动点Q运动的路程为2.8X5 = 14 (cm),因为 DC=BC=BA=5cm,所以点 Q 在 BA 上，且 BQ=14 - 10=4 (cm).在 ABPQ 中，因为 BP=5cm, BQ=4cm, PQ=3cm,所以 BQ2+PQ2=42+32 = 25=BP2,所以ABPQ是直角三角形，且ZBQP=90,所以 ZAQP=180-90=90,所以两点运动5s时，AAPQ是直角三角形.23. 解：连接AC.VZABC=90, AB=1, BC=2,.AC= l 5,在AACD 中，AC2+CD2=5+4=9=AD2,ACD是直角三角形，S 四边形cd=*abbc+*accd，=2x1X2+丄 Xl5X2,2 2= 1+i 5.故四边形ABCD的面积为1+1 5.A24. (1)解：.RtAABC 中，ZC=90, BC=2, AB= / 13,AC=3.(2)证明：在ABC 中，BC=1, AC=；g, AB=2,BC2+AC2=12+ (I g) 2=4=22=AB2, ZC=90, ABC为直角三角形.25. 解：(1)在 ABCD中，因为CD丄AB,所以 BD2+CD2=BC2.所以 CD2=BC2 -BD2=152 - 92=144.所以CD=12.(2) 在AACD中，因为CD丄AB,所以 CD2+AD2=AC2.所以 AD2=AC2 - CD2=202 - 122=256.所以AD=16.所以 AB=AD+BD = 16+9 = 25.(3) 因为BC2+AC2= 152+202=625, AB2=252=625,所以 AB2=BC2+AC2.所以ABC是直角三角形.五. 勾股定理的应用26. 解:TAB=30, AC=40, BC=50,AB2+AC2=BC2, ZBAC=90, a=90-40=50, a=50,故答案为：50.27. 解：在直角ABC中，根据勾股定理可得：AC=13 (cm).即铁条最长可以是13cm.故答案是：13.28. 解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角,:.ZAOB=90,又.OA = 15m, OB = 8m,.AB=17 (m).故选：C.29解：由题意知 AB = CE=3, BC=AE= 8,ZBCE=ZE= 90 , DC/BG, 过点C作CF丄BG于F,如图所示：.ZDCF=90,设 DE=x,则 AD=8-x,根据题意得：* (8-x+8)X3X3 = 3X3X5,解得:x=6,:.DE=6,VZE=90,由勾股定理得：CD=3T 5,VZBCE=ZDCF=90,:.ZDCE=ZBCF=90-ZBCD,VZDEC=ZBFC=90,故选：B.30.解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短,：.h=BD=8 (cm)；当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，在 RtAABD 中，AD=15cm, BD=8cm,:.AB=17 (cm),所以h的取值范围是：8cmWhW17cm.VDA丄AB 于 A, CB丄AB 于 B,AZA=ZB=90,C、D两村到E站的距离相等，：DE=CE，即 DE2 = CE2,由勾股定理，得 152+x2=102+ (25 -x) 2,解得，x=10.故：E点应建在距A站10千米处.32. 解：(1)是，理由如下：.4由题意可知，ABC是直角三角形，AC=8m, AB=DE=10m,由勾股定理得，BC=6 (m)， AD=2m，：CD=AC-AD = 8 - 2 = 6 (m)，：CE=8 (m)，：BE=CE-BC=8 - 6=2 (m)，:大树的另一端点也向左滑动了 2m；(2)不一定，理由如下： AD=am,:.CD=AC-AD=(8 - a) m,解得：a = 2或a=0 (舍去)，只有当a=2时，大树的顶端沿着墙面向下滑动了 am,那么大树的另一端点也向左滑 动了 am.33. 解：连接AC.由勾股定理可知：AC=5,又 J AG+BC2=52+122=132=AB2,ABC是直角三角形，这块地的面积=ABC的面积-AACD的面积=-X5X12 -X3X4 = 24 (米2).34. 解：在 RtAABC 中，AC=30m, AB=50m；根据勾股定理可得：BC=404n.小汽车的速度为 v=， =20 (m/s)=20X3.6 (km/h)=72 (km/h)；*.*72 (km/h)70 (km/h)；这辆小汽车超速行驶.答：这辆小汽车超速了.35. 解：甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45方向航行，乙轮船向南偏西45方向航行，AO 丄 BO,甲以20海里/时的速度向南偏东45方向航行， OB=20X2=40 (海里)，AB=50 海里，在 RtAOB 中，AO=30乙轮船平均每小时航行302=15海里.六平面展开-最短路径问题36. 解:(1)只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图:T长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm,.BD = CD+BC= 10+5 = 15 (cm), AD=20 (cm), 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：/.AB=25 (cm)；.蚂蚁爬行的最短距离是25 (cm).故答案为：25；A 20 D 10 C37. 解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半,作A关于E的对称点A,连接AB交EG于F,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF=20cm，延长BG,过A作AD丄BG于D，.AE=AE=DG=4cm,.BD = 16cm,RtAADB中，由勾股定理得：AD=12cm,:则该圆柱底面周长为24cm.故选：D.