2020中考数学 九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用

2020中考数学锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，B小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A处用测角仪测得塔顶的仰角为30，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB的高为多少米？ACD参考答案:解：过A作AEDC交BC于点E则AE=CD=60米，则AEB=90，EC=AD=1.5在ABE中，即tan30=BE60BE=60tan30=6032=303所以，古塔高度为：CB=BE+EC=203+1.5米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶点B处的仰角为60，看楼底点C的俯角为45，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为多少米？BA6045则在ABD中，tan60=BD在ACD中，tan45=DCC参考答案:解：过A作AD地面，交BC于DBD，即tan60=，BD=303AD30DC，即tan60=，DC=30AD30楼高BC为：BD+DC=30+303（结果保留整数，参考数据：sin357C3.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，两点的俯角分别为45，35。已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。57，cos35，tan35）12610A4535BCA参考答案:解：过A作ADBC于点D则AD即为热气球的高度，且1=2=45可设AD=BD=x则CD=x+100在ADC中4535ADxtanC=，即tan35=DCx+100EBC700得：x=3即热气球的高度为AD=7003米4.如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一直线上小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47，观测旗杆底部B的仰角为42已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan471.07，tan420.90）参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,ACE=90,DEC=90过点D作DFAC,垂足为F则DFC=90,ADF=47,BFD=42可得四边形DECF为矩形DF=EC=21,FC=DE=156在DFA中，tanADF=AFDFAF=DFtan4721107=22.47在DFB中，tanBDF=BFDFBF=DFtan42210.90=18.90于是，AB=AF-BF=22.47-18.90=3.573.6,BC=BF+FC=18.90+1.56=20.4620.55.如图所示，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象在废墟一侧面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30和45（如图）试确定生命所在点C与探测面的距离（参考数据21.41,31.73）参考答案:解：过C作CDAB于点D，则DBC=45=BCD可设BD=CD=x在ACD中可得：tanDAC=DCAD即：tan30=xx+2得x=3+12.73即，点C与探测面的距离大约为2.73米。6.如图所示，如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度。小宇同学在A处观测对岸C点，测得CAD45，小英同学在距A处50米远的B。处测得CBD30，请你根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，参考数据，21.414，31.732）参考答案:解：在ACE中，CAE=45可设CE=EA=x在BCE中，tanB=CEx，即tan30=，得x=253+2543.3+25=68.3BEx+50即，河宽约为68.3米7.如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角EAD为45，在B点测得D点的仰角CBD为60，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）DA45E乙甲60BC参考答案:解：如图，过A作AFCD于点F，在BCD中，DBC=60，BC=30m，CD=tanDBCBCDCD=BCtan60=303m，A45EF乙乙建筑物的高度为303m；甲60在AFD中，DAF=45，DF=AF=BC=30m，BC)AB=CF=CDDF=(303-30m，()甲建筑物的高度为303-30m8.如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45方向上，且BC60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：21.41，31.73，62.45，结果精确到0.1小时)参考答案:解：因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则ABCD于点D在BDC中，cosBCD，BC60海里即cos45，解得CD302海里BCD45，BDCDBDCDCD2=602BDCD302海里在ADC中，tanACDCDBCADCDA北C西4560南BD东即tan60AD=3，解得AD306海里302ABADBDAB30630230(6-2)海里海监船A的航行速度为30海里/小时AB30则渔船在B处需要等待的时间为30(6-2)6-22.451.41301.041.0小时渔船在B处需要等待1.0小时9.随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30，测得瀑布底端B点的GF俯角是10，AB与水平面垂直又在瀑布下的水平面测得CG27m，GF17.6m(注：C、三点在同一直线上，CFAB于点F)斜坡CD20m，坡角ECD40求瀑布AB的高度(参考数据：31.73，sin400.64，cos400.77，tan400.84，sin100.17，cos100.98，tan100.18)参考答案:解：过点D作DMCE，交CE于点M，作DNAB，交AB于点N，如图所示在CMD中，CD20m，DCM40，CMD90，CMCDcos4015.4m，DMCDsin4012.8m，DNMFCMCGGF60m在BDN中，BDN10，BND90，DN60m，BNDNtan1010.8m在ADN中，ADN30，AND90，DN60m，ANDNtan3034.6mABANBN45.4m答：瀑布AB的高度约为45.4米10.如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30，60，求CD的高度(结果保留根号)DB30ECA60参考答案:解：作BFCD于点F，设DFx米，D在DBF中，tanDBFDFBF，B30FEC则BFDFx=3x，tanDBFtan30oA60在直角DCE中，DCxCF3x(米)，在直角ABF中，tanDECDCEC，则ECDC3+x3=(x+3)米tanDECtan60o3解得：x93，则CD93393(米)BFCEAE，即3x-3(x+3)=183323922答：CD的高度是9392米11.如图，站在高出海平面100m的悬崖C处，俯视海平面上一搜捕鱼船A，并测得其俯角为30，则船与观察者之间的水平距离是多少？船向观察者方向行进了一段距离到达B处，此时测得船的俯角为60，求船航行了多少米？C3060ABD参考答案:解：由题可知CAD=30，CBD=60，CD=100在ADC中，tanCAD=CDCD100=，即tan30=，AD=1003ADADAD在BDC中，tanCBD=CDCD100=，即tan60=，BD=BDBDBD10033船与观察者之间的水平距离为：AD=1003，船航行了1003-10032003=3312.有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A的南偏东60，在B的南偏东30方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（31.7）北北ABC参考答案:解：作CDAB交AB延长线于D，由已知得：EAC=60，FBC=30，1=30，2=90-30=60，1+3=2，北北E3=30，A1=3，AB=BC=100，1BF2在BDC中，BD=13BC=50，2CCD=BC2-BD2=503，AD=AB+BD=150，在ACD中，AC=AD2+CD2=1003，1号=2号=tAC5BC10=34.25，t402303，104.25，3搜救中心应派2号艘救助轮才能尽早赶到C处救援13.一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度.（sin370.6，cos370.8，31.732，结果取整数）NC37B60AE参考答案:解：辅助线如图所示：BDAD，BECE，CFAF，有题意知，FAB=60，CBE=37，BAD=30，AB=20海里，BD=10海里，在ABD中，AD=AB2-BD2=10317.32在BCE中，sin37o=CEBCCE=BCsin370.610=6海里，FCcos37o=EBBCN37EEB=BCcos370.810=8海里，EF=AD=17.32海里，BFC=EFCE=11.32海里，AF=ED=EB+BD=18海里，A60DE在AFC中，AC=AF2+FC2=182+11.322=21.2621.26364海里/小时.答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时.14.今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60o方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30o方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为752海里（1）求B点到直线CA的距离；（2）执法船从A到D航行了多少海里?（结果保留根号）参考答案:解：（1）过点B作BHCA交CA的延长线于点H，QMBC=60CBA=30QNAD=30BAC=120BCA=180-BAC-CBA=301BH=BCsinBCA=150=752答：B点到直线CA的距离为75海里。（2）QBD=752BH=75DH=BD2-BH2=75QBAH=180-BAC=60在RtDABH中，BHtanBAH=3AH()AH=253AD=DH-AH=75-253(海里)答：执法船从A到D航行了(75-253)海里。15.为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时AEB=FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3，平面镜E的俯角为45，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.30.82，tan84.310.02）ACF39.345DEB参考答案:解：由题意，可得FED=45.在直角DEF中，FDE=90，FED=45，DE=DF=1.8米，EF=2DE=925米.AEB=FED=45，AEF=180AEBFED=90.在直角AEF中，AEF=90，AFE=39.3+45=84.3，5（米）.AE=EFtanAFE9210.02=18.036在直角ABE中，ABE=90，AEB=45，AB=AEsinAEB18.03622218故旗杆AB的高度约为18米.16.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度。已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的演讲为45；两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）。（1）求小敏到旗杆的距离DF；（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度。EA4530CBDF参考答案:解：过C作CPEF于点P，过A作AQEF于点Q，则QP=1.7-0.7=1则在ECD中可设CD=ED=xEQ=x-1在AEQ中，AQ=BD+CD=5+xEtanEAQ=EQx-1，即tan30=AQx+545Q得x=3+533-3=4+3A30BCDPF，小敏到旗杆的距离为x=3+533-3=4+317.如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市，CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直马路宽20米，A，B相距62米，A67，B37（1）求CD与AB之间的距离；（2）某人从车站A出发，沿折线ADCB去超市B求他沿折线ADCB到达超市比直线横穿马路多走多少米（参考数据：sin6712B1351234，cos67，tan67，sin37，cos37，135553tan37）437CF马路参考答案:【解】（1）如图（第20题图）设CD与AB的距离为x米CDAB，CFDE，CDDE，四边形CDEF是矩形，CFDEx（米），EFCD20（米），又ABCF，ABDE，BF，AEDE5xCF4xtanA12tanB3ABAEEFBF2062，5x4x123解得，x24（米）即CD与AB的距离约为24米，同理，BC，（2）在ADE中，ADDE13x5xsinA123（ADDCCB）AB2620406224（米）即沿折线ADCB去超市B比直线横穿马路多走约24米18.如图，一艘游轮在A处测得北偏东45的方向上有一灯塔B游轮以202海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？(结果精确到1海里，参考数据：21.41，31.73)D北45AEB15CF东参考答案:解：过点C作CMAB，垂足为M，在ACM中，MAC904545，则MCA45，AMMC，由勾股定理得：AM2MC2AC2(2022)2，解得：AMCM40，ECB15，DA北45MEB15CF东BCF901575，BBCFMAC754530，在BCM中，tanBtan30CMBM340，即，3BMBM403，ABAMBM4040340401.73109(海里)，答：A处与灯塔B相距109海里19.如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75且与点B相距200km的点C处。（1）求点C与点A的距离。（保留根号）（2）确定点C相对于点A的方向。北A东CB北A东参考答案:解：过A作ADBC于点D，由图可知：ABD=60CDB在ABD中，cosABD=BDAB，BD=50sinABD=ADAB，AD=503sinDAC=DC坝底同时拓宽加固，使得AE2DF，EFBF，求DF的长(参考数据：sin37，在ADC中，由勾股定理可得：AC=AD2+DC2=10031503=AC10032锐角DAC=60点C在点A的南偏西7520.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，ABC37，坝顶DC3m，背水坡AD的坡度i(即tanDAB)为1:0.5，坝底AB14m(1)求坝高；(2)如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和35cos37D43，tan37)54CFDCABEAHB图1图2参考答案:解：(1)作DMAB于M，CNAN于N由题意：tanDABDM2，设AMx，则DM2x，AM四边形DMNC是矩形，DMCN2x，在NBC中，tan37CNBNx，x3x14，2x3=，BNBN48383x3，DM6，答：坝高为6m(2)作FHAB于H设DFy，则AE2y，EH32yy3y，BH142y(3y)11y，FDC由EFHFBH，可得HFEH=，HBFH即6=，3+y11+y6EAHB图2解得y7213或7213(舍弃)，DF2137，答：DF的长为(2137)m21.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两座建筑物的高。某九年级课外兴趣活动小组未来测量者两座建筑物的高，用自制测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得D点的仰角为。已知甲乙两座建筑物之间的距离BC=m，请你通过计算，用含有、，m的式子分别表示甲乙两座建筑物的高度DA在ADE中，tana=DE乙甲BC参考答案:解：假设过A的水平线交CD于点E，则由题可知：AEDC，AE=BC=mDE，即tana=AEmDE=mtana在BDC中，tanb=DCDC，即tanb=BCmDC=mtanb所以，乙建筑物高DC=mtanb甲建筑物高：AB=EC=DC-DE=mtanb-mtana=m(tanb-tana)