空间向量练习题经典实用

1若A（0，2，），B（1，1，），C（2，1，）是平面内的三点，设平面的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A2：3：（4）B1：1：1C：1：1D3：2：42若=（1，2，2）是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是（）A（1，2，0）B（0，2，2）C（2，4，4）D（2，4，4）3已知平面的法向量为=（2，2，4），=（3，1，2），点A不在内，则直线AB与平面的位置关系为（）AABBAB CAB与相交不垂直DAB4若平面、的法向量分别为=（2，3，5），=（3，1，4），则（）ABC、相交但不垂直D以上均不正确5平面的法向量为（1，0，1），平面的法向量为（0，1，1），则平面与平面所成二面角的大小为6如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，AB=2AA1，M是AB的中点，A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点（1）若DE平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值7在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且COABB1A1平面（1）证明：BCAB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABC=90，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点（1）求证；平面A1MC平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离9如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM（）证明：BM平面PAD；（）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离10如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且PA=AB=AC（）求证：PA平面QBC；（）PQ平面QBC，求二面角QPBA的余弦值11如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F（）证明：EFB1C；（）求二面角EA1DB1的余弦值12如图，正方体ABCDA1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=（1）证明：B1D1平面BDE；（2）求二面角EBDC大小；（3）证明：平面ACC1A1平面BDE13如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，ABC=45（1）求直三棱柱ABCA1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，（1）证明：BC1面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角15如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1（）求证：四点B、C、G、F共面；（）求二面角DBCF的大小16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，ABC=（1）证明：ABA1C；（2）求二面角AA1CB的正弦值17如图，在四棱锥OABCD中，OA底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点（）证明：DN平面OAQ；（）求点B到平面DMN的距离18如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F是CD的中点（）试确定E的位置，使D1E平面AB1F；（）求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小19如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且ABCD，BCAB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点（I）求证：平面AEF平面SBC；（）求二面角SACF的大小20如图，在三棱锥DABC中，ADC，ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，ADC=ACB=90，M为线段AB的中点，侧面ADC底面ABC（）求证：BC平面ACD；（）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；（）求二面角ACDM的余弦值21如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点（）求证：ACDE；（）求EF与平面PAB所成角的正弦值22如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值23已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离24如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在（）求证：AE平面BCE；（II）求二面角DBEC的余弦值1若A（0，2，），B（1，1，），C（2，1，）是平面内的三点，设平面的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A2：3：（4）B1：1：1C：1：1D3：2：4选A2若=（1，2，2）是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是（）A（1，2，0）B（0，2，2）C（2，4，4）D（2，4，4）选C3已知平面的法向量为=（2，2，4），=（3，1，2），点A不在内，则直线AB与平面的位置关系为（）AABBABCAB与相交不垂直DAB选：D4若平面、的法向量分别为=（2，3，5），=（3，1，4），则（）ABC、相交但不垂直D以上均不正确选；C5平面的法向量为（1，0，1），平面的法向量为（0，1，1），则平面与平面所成二面角的大小为或解：设平面的法向量为=（1，0，1），平面的法向量为=（0，1，1），则cos，=，=平面与平面所成的角与，相等或互补，与所成的角为或6如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，AB=2AA1，M是AB的中点，A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点（1）若DE平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，（1分）M，N分别为AB，CB中点MNACA1C1，A1，M，N，C1四点共面，且平面BCC1B1平面A1MNC1=C1N，又DE平面BCC1B1，且DE平面A1MC1，DEC1N，D为CC1的中点，E是CN的中点，（2）连结B1M，因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1平面ABC，AA1AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，M是AB的中点，B1MA1M，又A1C1平面ABB1A1，A1C1B1M，从而B1M平面A1MC1，MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，B1C1与平面A1MC1所成的角为B1C1M，又B1C1BC，直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角（10分）设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形，则MC1=2，cos=，直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为（12分）7在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且COABB1A1平面（1）证明：BCAB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tanAB1B=，在直角三角形ABD中，tanABD=，所以AB1B=ABD，又BAB1+AB1B=90，BAB1+ABD=90，所以在直角三角形ABO中，故BOA=90，即BDAB1，又因为CO侧面ABB1A1，AB1侧面ABB1A1，所以COAB1所以，AB1面BCD，因为BC面BCD，所以BCAB1（）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（，0，0），C（0，0，），B1（0，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（，0），=（0，），=（，），=（，0，），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为，则sin=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为（12分）8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABC=90，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点（1）求证；平面A1MC平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离【解答】证明：（1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），=（0，4，3），=（4，0，3），=（0，0，6），=（4，4，0），设平面A1MC的法向量为=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，3，4），设平面AA1C1C的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，0），=0，平面A1MC平面AA1C1C解：（2）=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，3，4），点A到平面A1MC的距离：d=9如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM（）证明：BM平面PAD；（）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离【解答】证明：（1）过M作MOCD，交CD于O，连结BO，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM，MOPD，OD=，ODAB，ADBO，ADPD=D，BOMO=O，AD、PD平面ADP，BO、MO平面BOM，平面ADP平面BOM，BM平面BOM，BM平面PAD解：（2）AD=2，PD=3，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，BD=，BD2+AB2=AD2，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0），=（），=（），=（0，3，3），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，3，3），点D到平面PBC的距离d=10图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且PA=AB=AC（）求证：PA平面QBC；（）PQ平面QBC，求二面角QPBA的余弦值解：（I）证明：过点Q作QDBC于点D，平面QBC平面ABC，QD平面ABC，又PA平面ABC，QDPA，又QD平面QBC，PA平面QBC，PA平面QBC（）方法一：PQ平面QBC，PQB=PQC=90，又PB=PC，PQ=PQ，PQBPQC，BQ=CQ点D是BC的中点，连接AD，则ADBC，AD平面QBC，PQAD，ADQD，四边形PADQ是矩形设PA=2a，PB=2a，过Q作QRPB于点R，QR=，=，取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，PR=，MARNPA=AB，AMPB，RNPBQRN为二面角QPBA的平面角连接QN，则QN=又，cosQRN=即二面角QPBA的余弦值为（）方法二：PQ平面QBC，PQB=PQC=90，又PB=PC，PQ=PQ，PQBPQC，BQ=CQ点D是BC的中点，连AD，则ADBCAD平面QBC，PQAD，ADQD，四边形PADQ是矩形分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），设平面QPB的法向量为=（1，1，0），=（0，2，2）令x=1，则y=z=1又平面PAB的法向量为设二面角QPBA为，则|cos|=又二面角QPBA是钝角11如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F（）证明：EFB1C；（）求二面角EA1DB1的余弦值【解答】（）证明：B1C=A1D且A1B1=CD，四边形A1B1CD为平行四边形，B1CA1D，又B1C平面A1EFD，B1C平面A1EFD，又平面A1EFD平面B1CD1=EF，EFB1C；（）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz如图，设边长为2，AD1平面A1B1CD，=（0，2，2）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为=（x，y，z），又=（0，2，2），=（1，1，0），取y=1，得=（1，1，1），cos，=，二面角EA1DB1的余弦值为12如图，正方体ABCDA1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=（1）证明：B1D1平面BDE；（2）求二面角EBDC大小；（3）证明：平面ACC1A1平面BDE【解答】（1）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1，DD1BB1且DD1=BB1则：四边形DD1B1B是平行四边形BDB1D1B1D1平面BDE，BD平面BDE，所以：B1D1平面BDE（2）连接AC和BD交于点O，连接OE，所以：ACDB，又EC平面ABCD，DB平面ABCD所以：BD平面COE则：OEBD则：EOC是二面角EBDC的平面角由于正方体的边长为1，EC=，解得：则：tanEOC=1则：EOC=45即二面角EBDC大小为45（3）在正方体中，A1A平面ABCD，ACBD，则：BD平面A1ACC1BD平面BDE所以：平面ACC1A1平面BDE13如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，ABC=45（1）求直三棱柱ABCA1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角解：（1）AB=AC=2，ABC=45，BAC=90，又AA1=2，直三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCAA1=22=4直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4（2）取AA1的中点M，连接DM，BM，D是AC的中点，DMA1C，BDM是异面直线BD与A1C所成的角在BDM中，即异面直线BD与A1C所成的角为14（2014秋西宁期中）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，（1）证明：BC1面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O在正方体ABCDA1B1C1D1中因为A1B1平面BCC1B1所以A1B1BC1又BC1B1C，又BC1B1C=OBC1平面A1B1CD （2）因为BC1平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角设正方体的棱长为a在RTA1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，BA1O=30，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为3015如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1（）求证：四点B、C、G、F共面；（）求二面角DBCF的大小【解答】（）证明：取DG的中点M，连接AM，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1BFAM，AMCG，BFCG，四点B、C、G、F共面（）以DE为x轴，以DG为y轴，以DA为z轴，建立空间直角坐标系，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1D（0，0，0），B（2，0，2），C（0，1，2）F（2，1，0），设平面DBC的法向量，则，解得=（1，2，1），设平面FBC的法向量，则，解得=（1，2，1），设二面角DBCF的平面角为，则cos=|cos，|=|=二面角DBCF的大小为arccos16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，ABC=（1）证明：ABA1C；（2）求二面角AA1CB的正弦值解：（1）证明：在ABC中，由正弦定理可求得ABAC以A为原点，分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图则A（0，0，0）B（2，0，0）即ABA1C（2）由（1）知设二面角AA1CB的平面角为，=17如图，在四棱锥OABCD中，OA底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点（）证明：DN平面OAQ；（）求点B到平面DMN的距离解：（）由题意，可知AO，AB，AD两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0），即AQDN又知OADN，DN平面OAQ（）设平面DMN的法向量为，由得即，令x=1，得平面DMN的法向量，点B到平面DMN的距离18如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F是CD的中点（）试确定E的位置，使D1E平面AB1F；（）求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小解：（）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），F（1，2，0），B1（2，0，3），D1（0，2，3），设E（2，y，z），则，（4分）由D1E平面AB1FE（2，1，） 为所求 （6分）（）方法一：当D1E平面AB1F时，=，又是平面A1AB1的法向量，且（8分）面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小（12分）方法二：取AB的中点G，可证：FG平面ABB1A1，过点G作GHAB1于H点，连接FH，则FHAB1，所以GHF为所求二面角的平面角（9分）在GHF中，FG=2，FH面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小（12分）19如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且ABCD，BCAB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点（I）求证：平面AEF平面SBC；（）求二面角SACF的大小【解答】证明：（）fF别是CD的中点，FC=CD=1又AB=1，所以FC=ABFCAB，四边形ABCF四边形AFBCE是SD的中点EFSC又AFEF=F，BCSC=C平面AEF平面SBC解：（II）取AB的中点O，连接SO，SOSAB，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系Oxyz则有A（0，0），C（1，0），S（0，0，），F（1，0），=（1，1，0），=（0，），（7分）设平面SAC的法向量为=（x，y，z），由，即取x=1，得=（1，1，），平面FAC的法向量为=（0，0，1）（10分）cosm，n=而二面角二面角SACF的大小为钝角，二面角二面角SACF的大小为arccos20如图，在三棱锥DABC中，ADC，ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，ADC=ACB=90，M为线段AB的中点，侧面ADC底面ABC（）求证：BC平面ACD；（）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；（）求二面角ACDM的余弦值解：（）证明：因为ACBC，平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BC平面ABC，所以BC平面ACD（）取AC的中点为O，连接DO，OM建立空间直角坐标系Oxyz如图所示则A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（1，2，0），M（0，1，0），所以异面直线BD与CM所成角的余弦值为（）平面ACD的法向量为，设平面MCD的法向量为，由，得，取x=1，得y=z=1，所以所以，二面角ACDM的余弦值为21如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点（）求证：ACDE；（）求EF与平面PAB所成角的正弦值【解答】证明：（）PD面ABCD，AC面ABCDPDAC四边形ABCD是菱形，BDAC又PDBD=D，PD，BD面PBDAC面PBD又DE面PBDACDE （）以点O为坐标原点，OB、OC所在的直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点P（3，0，3），A（0，3，0），B（3，0，0），C（0，3，0），=（2，0，），=（1，0），=+=（1，），设平面PAB的法向量=（x，y，z），由=（3，3，3），=（6，0，3）得，即令z=2，则=（，2）则EF与平面PAB所成角满足sin=，即为EF与平面PAB所成角的正弦值（8分）22如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C1（2，2，2）（1）则=（0，1，2），=（1，0，2）设异面直线AE和BF所成角为则cos=即异面直线AE和BF所成角的余弦值为（2）=（2，0，0）为平面BDD1的一个法向量，设向量为平面BFC1的一个法向量则，即令z=1，则向量为平面BFC1的一个法向量cos=sin=平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值为23已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离解：（1）取BD中点M连接MC，FMF为BD1中点，FMD1D且FM=D1D又ECCC1且ECMC，四边形EFMC是矩形EFCC1又FM面DBD1EF面DBD1BD1面DBD1EFBD1故EF为BD1与CC1的公垂线（）解：连接ED1，有VEDBD1=VD1DBE由（）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d则AA1=2，AB=1，故点D1到平面DBE的距离为24如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在（）求证：AE平面BCE；（II）求二面角DBEC的余弦值解：（）证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC侧面ABB1A1，AE侧面ABB1A1，AEBC，在ABE中，AB=2a，a，则有AB2=AE2+BE2，AEB=90，AEEB，又BCEB=BAE平面BCE（6分）（II）以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系Dxyz则D（0，0，0），B（2a，a，0），E（a，a，a，），A（0，a，0），=（a，a，a），设平面BDE的法向量为，则由=0，得，令x=1，得，又由（I）AE平面BCE，=（a，0，a）为平面BCE的法向量，cos即所求二面角DBEC的余弦值为.【此课件下载可自行编辑修改，供参考，感谢你的支持！】30 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