参数估计与假设检验.ppt

22:24,第三章 参数估计与假设检验,主要内容： 过程参数的估计 假设检验的基本思想 均值检验 总体方差检验,知识点及其基本要求,掌握参数的点估计和区间估计方法 了解点估计的评价标准 区分方差已知和方差未知时的估计方法差异 掌握均值检验的方法 理解假设检验的基本思想 掌握总体方差检验的方法 区分方差已知和方差未知时的检验方法,重点： 过程参数估计 均值检验,难点： 总体方差检验,第一节 过程参数估计,参数估计:从样本出发去构造某些适当的统计量来对总体的某些未知参数进行估计。 分为点估计和区间估计 。,一、参数的点估计 当总体的分布形式已知，但有一个或多个参数未知时，如果通过随机抽样得到x的一个样本观察值（x1, x2 ,xn），利用这组数据算得估计量的特点值，以此作为未知参数的估计值。 常用的点估计方法：矩估计和极大似然估计。,1、评价点估计的优劣标准,根据不同的要求，评价点估计的标准主要有： 无偏性、有效性、一致性、充分性。,设 为总体中的未知参数，统计量,称为 估计量。,估计量 的均方误差MSE（Mean Square Error),（1）无偏性,点估计的期望值等于被估计的总体参数。无偏性是对估计量的一个重要的、最常见的要求，其实际意义就是无系统误差。,证明：,例1：设X1，X2，Xn为总体的样本，证明样本平均数 及样本方差s2分别是总体均值和总体方差2的无偏估计。,（2)有效性,要比较同一参数的两个无偏估计量的优劣，其标准自然应该是在样本量相同时，看哪一个估计量的取值较大地集中在参数的附近。即要求 的方差越小越好。有效估计量就是具有最小方差的无偏估计量。,例2：设X1，X2,，Xn为总体X的样本，比较总体均值的两个估计量,的有效性。,解：,当样本量时n1， ；而当n1时，显然有 ，故 比 更有效。,例3：设总体X的期望E（X）和方差D（X）都存在，X1、X2是来自X的样本，下列估计中哪个较好，哪个较差。,(3)一致性,定义3.3： 如果当 时， 依概率收敛于，即任给 ， ，则称 为参数的一致估计。,即：,任给0,2. 点估计的计算方法,矩法估计是求点估计最古老的方法，就是用样本的数字特征来估计与之相应的总体数字特征。常用的是用样本平均数 来估计总体的平均数；用样本的方差s2来估计总体的方差2 。,（1）矩法估计,样本的k阶原点矩为：,总体的k阶原点矩为：,样本的k阶中心矩为：,总体的k阶中心矩为：,其中k为正整数。,(1) 矩估计法,例4： 已知晶体管寿命服从正态分布，现从中随机抽取一个样本，测得的数据为1322，1324，1321,1325，1320，1326。求总体参数和2的矩估计。,解:样本观测值代入上述公式中，得相应的估计值为：,例5： 某工厂生产了一批轴承，为了解该批轴承的长度，从中抽取10件进行测量，得出如下数据（单位：mm）： 501.2，498.9，499.2，500.7，501.5， 501.3，498.4，502.1，502.3，501.4问：该天生产的轴承的平均长度以及长度的方差大约是多少？,解：,因此，可将500.7和1.893作为该批轴承的平均长度和长度方差的估计值。,设（X1, X2 ,Xn）是来自密度为 的总体的一个简单随机样本，则（ X1, X2 ,Xn ）的联合密度函数为,将样本观测值x1，x2，,xn 视为常数，待估参数 视为变量，则这个联合密度函数是的似然函数，反映了样本和总体参数之间的关系。,(2) 极大似然估计法,定义3.4 ： 设总体的分布形式为已知， 为X的一组样本观测值，如果 处达到最大值，则称 的最大似然估计。,最大似然估计就是将似然函数L的最大值点 作为的估计值。,解方程式 可得最大似然估计 。,和,上述方程组的解就是参数,的最大似然估计量。,例6：设（x1, x2 ,，xn）是正态分布 的一个样本，求总体参数和2的极大似然估计。,解:,则,得,令,已知,解：,似然函数为,令,得,得的最大似然估计值为,二、参数的区间估计,1、区间估计的概念,设是总体X的一个未知参数，从该总体中抽取样本,，参数的区间估计是要找两个统计量,，对于给定的,（1 1)，满足,则（ ， ）叫做的置信度为1的置信区间。,对于给定的显著性水平, 若由样本观测值x1,x2, xn 确定的统计量 （ x1,x2, ，xn)满足： 则称置信区间 ， 为的置信度为1-的单侧置信区间， 是单侧置信下限。,满足 ，称 为单侧置信上限：,1方差已知情况的正态分布均值的置信区间 设X为正态随机变量，其均值未知，方差2已知， 。假定（x1, x2 ,，xn）是总体取得的随机样本，其均值为 ，则总体均值的1-的双侧置信区间为:,区间估计的一般步骤如下： 1.明确待估参数和置信水平； 2.用参数的点估计法导出估计量的分布； 3.利用估计量的分布给出置信区间。,式中： 为标准正态分布的/2 分位点。,的100（1-）%的上单侧置信区间为,的100（1-）%的下单侧置信区间为,例4：设从正态总体 随机抽得一个样本（x1, x2 ,xn），其均值为 ，试求总体均值的95%置信区间。 解：由正态分布表可查得,故,即的95%置信区间为14.656，15.244,2方差未知情况的正态分布均值的置信区间,设X为正态随机变量，其均值和方差2未知。假定（X1, X2 ,，Xn）是总体取得的一个有n个观察值的随机样本，其均值为 ，样本方差为 ， 则的置信度为1-的双侧置信区间为,式中，,是自由度为n-1的t分布，其使得,的,分位点。,其相应的上、下的1-的单侧置信区间为,例5：从一批螺钉中随机抽取9枚，测得其长度为2.14, 2.13, 2.15, 2.10, 2.12, 2.15, 2.14, 2.11, 2.13。已知螺钉长度服从正态分布 ，试求总体均值的90%置信区间。,解：从样本数据计算有,由t分布表查得,即的90%置信区间为2.119，2.141。,第二节 过程参数的假设检验,假设检验就是对总体情况的某一命题，从样本去推断假设是否成立。 确定在假设中所规定的参数值。 （1）根据以往的经验或数据来确定。 （2）根据理论或过程模型来确定。 （3）根据合同规定或设计技术规格来确定。,假设检验的步骤如下：,（1）确定待检验的命题，提出假设,包括原假设H0和备择假设H1； 例如，假定螺钉的平均长度为2.13cm，则此命题可如下表示,或更一般的假设，如：,：生产方的风险，其表示为一个良好批被拒绝的概率；：使用方的风险，其表示为一个不良批被接受的概率。 是样本大小的函数，样本越大，风险就越小。,（2）选择检验H0的统计量，并确定相应统计量的分布；,（3）选择显著性水平（或称检验水平），根据统计量分布及值确定拒绝域；,（4）判断H0是否成立。当统计量落入接收域则不能拒绝H0,反之拒绝H0。,在假设检验中，两类错误： H0为真而被拒绝的错误 H0不为真而被接受的错误,通常，这两类错误记为 =P第一类错误=P拒绝H0|H0为真 =P第二类错误=P接受H0|H0不为真,例1：某种零件的尺寸服从正态分布 ，今从一批零件中抽取6件，测得尺寸数据(mm)为：32.56, 31.64, 29.66, 30.00, 31.87, 31.03。取检验水平 ，能否认为此批零件均值为32.50mm?,解：1.检验假设,2.选择统计量,3.选择显著性水平,由于U0N（0，1），且,故检验的拒绝哉域为（-，-1.96）和（1.96,）,4. 判断H0是否成立。 由样本观察值得,由于落在（-1.96,1.96）之外，故不能判断H0成立，即不能认为此批零件尺寸的均值为32.50mm。,例2：装有化学药品的瓶子，其规范要求是30cc，从稳态生产中采集样本量n=25的样本，其均值 ，样本标准差 ,取检验水平 ， 能否认为该批量产品的均值是30cc 。,解：1.检验假设,2.检验统计量,3.在显著性水平=0.05水平下,则检验的拒绝域为（-，-2.064）和（2.064,）,4.由样本观察值得,落在（-2.064,2.064）间，所以接收H0假设.,例3：从稳定的生产过程中取出n=25的样本，设备甲的方差为100。设备乙的方差是50，其样本量为10。设备甲的制造商认为上述结果是“统计意外”。假设“统计意外”意味着100次机会中发生的可能性小于1次，即=0.01。对上述两个方差实际上相等的假设进行检验。,解：检验假设,选择统计量,在显著性水平=0.01 时,检验的拒绝域为（4.73,）,由样本观察值得,故不能拒绝H0。可以得出结论，结果是一个统计意外。,第七节 相关与回归分析,相关与回归分析：处理变量之间相关关系的一种统计方法，通过相关关系的描述和回归方程的建立，可以从影响变量y的自变量x1，x2，xk中，判断哪些自变量的影响是显著的，哪些是不显著的，并利用求得的回归方程进行预测和控制。,一、相关与回归分析的概念,变量之间的关系分：函数关系和相关关系。,散布图,对于x1，x2， ，xn，有相应的一组观测值y1，y2， ，yn，这样可以得到一组容量为n的样本：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），则有估计的样本回归方程： 和 称为0、1的估计量，常用最小二乘法求出。,二、一元线性回归,一元线性回归：研究一个自变量x和因变量y之间的线性关系的统计方法。,一元线性回归方程：,0、1称为回归参数，通常是未知的，需要根据样本数据进行估计。,对上式求偏导数，可解得：,由上式求得的估计量称为最小二乘估计量。,三、相关分析,散点图可以对研究变量之间的相关关系的方向、形式和紧密程度作大致的判断。 相关系数可以定量地描述两个变量检线性关系地密切程度地一个数量指标。,1，x与y完全线性相关； r0，x与y完全线性无关； 越接近1，x与y间的线性关系也越强 越小，回归效果越差，x与y间的线性相关性越不显著； 越大，回归的效果越好，x与y间的线性相关性越显著。,回归估计的标准差 越小，回归效果越好， 还可用来表示回归直线的精度。,当 时，认为回归效果显著，否则认为回归效果不显著， 是相关系数检验的临界值，可根据检验水平、样本大小n查表。,还可以用回归估计的标准差来评价回归方程的拟合效果：,对于试验范围的x，有99.73%的y落入下列两条直线之间：,