第九篇 解析几何方法技巧2 圆锥曲线的综合应用

方法技巧2圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题【考情快递】 最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题方法1：定义转化法解题步骤根据圆锥曲线的定义列方程；将最值问题转化为距离问题求解适用情况此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用.【例1】已知点F是双曲线1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析如图所示，根据双曲线定义|PF|PF|4，即|PF|4|PF|.又|PA|PF|AF|5，将|PF|4|PF|代入，得|PA|PF|45，即|PA|PF|9，等号当且仅当A，P，F三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|PA|的最小值为9.故填9.答案9方法2：切线法解题步骤求与直线平行的圆锥曲线的切线；求出两平行线的距离即为所求的最值适用情况当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此法.【例2】求椭圆y21上的点到直线yx2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标解设椭圆的切线方程为yxb，代入椭圆方程，得3x24bx2b220.由(4b)243(2b22)0，得b.当b时，直线yx与yx2的距离d1，将b代入方程3x24bx2b220，解得x，此时y，即椭圆上的点到直线yx2的距离最小，最小值是；当b时，直线yx到直线yx2的距离d2，将b代入方程3x24bx2b220，解得x，此时y，即椭圆上的点到直线yx2的距离最大，最大值是.方法3：参数法解题步骤 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；求解关于这个参数的函数最值适用情况可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.【例3】在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆y21上的一个动点，则Sxy的最大值为_解析因为椭圆y21的参数方程为(为参数)故可设动点P的坐标为(cos ，sin )，其中02.因此Sxycos sin 22sin，所以，当时，S取最大值2.故填2.答案2方法4：基本不等式法解题步骤将最值用变量表示利用基本不等式求得表达式的最值适用情况最值问题中的多数问题可用此法.【例4】设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值解依题设得椭圆的方程为y21.直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1.根据点到直线的距离公式和式，得点E，F到AB的距离分别为h1，h2，又|AB|，所以四边形AEBF的面积为S|AB|(h1h2)22，当2k1，即k时，取等号所以四边形AEBF面积的最大值为2.二、圆锥曲线的范围问题【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点，一般出选择题、填空题方法1：曲线几何性质法解题步骤由几何性质建立关系式；化简关系式求解适用情况利用定义求解圆锥曲线的问题.【例1】已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是_解析根据双曲线定义|PF1|PF2|2a，设|PF2|r，则|PF1|4r，故3r2a，即r，|PF2|.根据双曲线的几何性质，|PF2|ca，即ca，即，即e.又e1，故双曲线的离心率e的取值范围是.故填.答案方法2：判别式法解题步骤 联立曲线方程，消元后求判别式；根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解适用情况当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零此类问题可用判别式法求解.【例2】(2011浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量与共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知条件，知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程，得(kx)21，整理得x22kx10.由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得8k244k220，解得k或k，即k的取值范围为.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)由方程，知x1x2.又y1y2k(x1x2)2.由A(，0)，B(0,1)，得(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)，将代入，解得k.由(1)知k或k，故不存在符合题意的常数k.三、圆锥曲线的定值、定点问题【考情快递】 此类问题也是高考的热点，圆锥曲线中的定值问题是指某些几何量不受运动变化的点的影响而有固定取值的一类问题，定点问题一般是指运动变化中的直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影响的一类问题方法1：特殊到一般法解题步骤 根据特殊情况确定出定值或定点；对确定出来的定值或定点进行证明适用情况根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题.【例1】已知双曲线C：x21，过圆O：x2y22上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：AOB的大小为定值证明当切线的斜率不存在时，切线方程为x.当x时，代入双曲线方程，得y，即A(，)，B(，)，此时AOB90，同理，当x时，AOB90.当切线的斜率存在时，设切线方程为ykxb，则，即b22(1k2)由直线方程和双曲线方程消掉y，得(2k2)x22kbx(b22)0，由直线l与双曲线交于A，B两点故2k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，故x1x2y1y2，由于b22(1k2)，故x1x2y1y20，即0，AOB90.综上可知，若l交双曲线于A，B两点，则AOB的大小为定值90.方法2：引进参数法解题步骤 引进参数表示变化量；研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点适用情况定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).【例2】如图所示，曲线C1：1，曲线C2：y24x，过曲线C1的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点若G为CD的中点、H为BE的中点，证明为定值证明由题意，知F1(1,0)，F2(1,0)，设B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线yk(x1)，代入1，得829y2720，即(89k2)y216ky64k20，则y1y2，y1y2.同理，将yk(x1)代入y24x，得ky24y4k0，则y3y4，y3y44，所以3为定值方法运用训练21设P是曲线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到x1直线的距离之和的最小值为() A. B. C. D.解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离；于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小；显然，连AF交曲线于P点故最小值为，即为.答案C2椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)和圆x2y22有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e的范围为() A.e B0eC.e D.e解析此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b)一个在圆外、一个在圆内即：e.答案A3(2011长郡中学1次月考)设F是椭圆1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i1,2,3，)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为_解析若公差d0，则|FP1|最小，|FP1|1；数列中的最大项为1，并设为第n项，则11(n1)dn121d，注意到d0，得0d；若d0，易得d0.那么，d的取值范围为.答案4过抛物线y22px(p0)上一定点P(x0，y0)(y00)作两直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为_解析设直线PA的斜率为kPA，PB的斜率为kPB，由y2px1，y2px0，得kPA，同理kPB，由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，因此，即y1y22y0(y00)，那么2.答案25椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当PFO的面积最大时，求直线l的方程解求直线方程，由于F(c,0)为已知，仅需求斜率k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则y0，由于SPFO|OF|y0|y0|只需保证|y0|最大即可，由(b2a2k2)y22b2ckyb4k20，|y0|得：SPFO，此时a2|k|k，故直线方程为：y(xc)6(长沙雅礼中学最新月考)已知O过定点A(0，p)(p0)，圆心O在抛物线C：x22py(p0)上运动，MN为圆O在轴上所截得的弦(1)当O点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O的位置关系，并说明理由解(1)设O(x0，y0)，则x2py0(y00)，则O的半径|OA|，O的方程为(xx0)2(yy0)2x(y0p)2，令y0，并把x2py0，代入得x22x0xxp20，解得x1x0p，x2x0p，所以|MN|x1x2|2p，这说明|MN|是不变化，其为定值2p.(2)不妨设M(x0p,0)，N(x0p,0)由题2|OA|OM|ON|，得2p|x0p|x0p|，所以px0p.O到抛物线准线y的距离dy0，O的半径|OA|.因为rdx4p42xp2，又xp2p2(p0)，所以rd，即O与抛物线的准线总相交