2012高考数学 冲刺必考专题解析 数学开放性问题问题

上传人:ca****in 文档编号:143169631 上传时间:2022-08-25 格式:DOC 页数:10 大小:652.50KB
返回 下载 相关 举报
2012高考数学 冲刺必考专题解析 数学开放性问题问题_第1页
第1页 / 共10页
2012高考数学 冲刺必考专题解析 数学开放性问题问题_第2页
第2页 / 共10页
2012高考数学 冲刺必考专题解析 数学开放性问题问题_第3页
第3页 / 共10页
点击查看更多>>
资源描述
数学开放性问题怎么解 数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.例 1 设等比数列的公比为 ,前 项和为 ,是否存在常数 ,使数列 也成等比数列?若存在,求出常数;若不存在,请 明 理 由. 讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数, 使数列 成等比数列. (i) 当 时, 代入上式得 即=0但, 于是不存在常数 ,使成等比数列. (ii) 当 时, 代 入 上 式 得 . 综 上 可 知 , 存 在 常 数 ,使成等比数列.等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值); (3 ) 使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (i )当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床; (ii )当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由.讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. (1) =. (2)解不等式 0,得 x.xN, 3 x 17.故从第3年工厂开始盈利.(3)(i) 40当且仅当时,即x=7时,等号成立.到2008年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利127+30=114万元.(ii)y=-2x2+40x-98= -2(x-10)2 +102,当x=10时,ymax=102.故到2011年,盈利额达到最大值,工厂共获利102+12=114万元.解答函数型最优化实际应用题,二、三元均值不等式是常用的工具.例3 已知函数f(x)= (x-2)(1)求f(x)的反函数f-1(x); (2)设a1=1,=-f-1(an)(nN),求an; (3)设Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意nN,有bn成立?若存在,求出m的值;若不存在说明理由. 讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.(1) y=,x0).(2) , =4.是公差为4的等差数列.a1=1, =+4(n-1)=4n-3.an0 , an=.(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn对于nN成立.5 ,m5,存在最小正数m=6,使得对任意nN有bn成立.为了求an ,我们先求,这是因为是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.例4 已知数列在直线x-y+1=0上.(1) 求数列an的通项公式;(2)若函数求函数f(n)的最小值;(3)设表示数列bn的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索. (1) (2) ,.(3), . 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.事实上, 数列an是等差数列, 你知道吗? 例5 深夜,一辆出租车被牵涉进一起交通事故,该市有两家出租车公司红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色,并对证人的辨别能力作了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗?试说明理由.讲解 设该城市有出租车1000辆,那么依题意可得如下信息:证人所说的颜色(正确率80%)真实颜色蓝色红色合计蓝色(85%)680170850红色(15%)30120150合计7102901000从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,且它确实是红色的概率为,而它是蓝色的概率为. 在这种情况下,以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的. 例6 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践,对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究,得到如下两个不同的信息图: (A)图表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡; (B)图表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.请你根据提供的信息解答下列问题: (1)第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少? (2)哪一年的规模最大?为什么?讲解 (1)设第n年的养鸡场的个数为,平均每个养鸡场出产鸡万只,由图(B)可知, =30,且点在一直线上,从而 由图(A)可知, 且点在一直线上,于是 =(万只),(万只)第二年的养鸡场的个数是26个,全县出产鸡的总只数是31.2万只;(2)由(万只),第二年的养鸡规模最大,共养鸡31.2万只.有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.例7 已知动圆过定点P(1,0),且与定直线相切,点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程; (2)设过点P,且斜率为的直线与曲线M相交于A,B两点. (i)问:ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由; (ii)当ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系,是解析几何中的存在性问题.(1)由曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,知曲线M的方程为.(2)(i)由题意得,直线AB的方程为 消y得于是, A点和B点的坐标分别为A,B(3,),(3,)假设存在点C(1,y),使ABC为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即有 由得因为不符合,所以由,组成的方程组无解.故知直线l上不存在点C,使得ABC是正三角形.(ii)设C(1,y)使ABC成钝角三角形,由即当点C的坐标是(1,)时,三点A,B,C共线,故. , , . (i) 当,即, 即为钝角. (ii) 当,即, 即为钝角.(iii)当,即, 即. 该不等式无解,所以ACB不可能为钝角.故当ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是.需要提及的是, 当ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.例8 已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,bR都满足关系式 . (1)求f(0),f(1)的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,求数列un的前n项的和Sn.讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识,考查从一般到特殊的取特值求解技巧. (1)在中,令得 . 在中,令得 ,有 . (2)是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上 故为奇函数.(2) 从规律中进行探究,进而提出猜想. 由 , 猜测 . 于是我们很易想到用数学归纳法证明. 1 当n=1时,公式成立; 2假设当n=k时,成立,那么当n=k+1时,公式仍然成立. 综上可知,对任意成立. 从而 . ,. 故 例9 若、,(1)求证:; (2)令,写出、的值,观察并归纳出这个数列的通项公式; (3)证明:存在不等于零的常数p,使是等比数列,并求出公比q的值.讲解 (1)采用反证法. 若,即, 解得 从而与题设,相矛盾, 故成立. (2) 、, .(3)因为 又,所以,因为上式是关于变量的恒等式,故可解得、.我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?例10 如图,已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切,直线l的方程为:(1)求圆P的轨迹方程,并证明:当时,点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值;(2) 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q,求的最小值; (3)如果存在某一位置,使得PQ的中点R在l上的射影C,满足求a的取值范围讲解(1)设动圆P的半径为r,则PA,PB| = r + , |PA| PB| = 2 点P的轨迹是以A、B为焦点,焦距为4,实轴长为2的双曲线的右准线的右支,其方程为 (x 1)若 , 则l的方程为双曲线的右准线, 点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.(2)若直线PQ的斜率存在,设斜率为k,则直线PQ的方程为y = k ( x2 )代入双曲线方程, 得由 ,解得 PQ当直线的斜率存在时,得,PQ|PQ|的最小值为(3)当PQQC时,P、C、Q构成Rt. R到直线l的距离RC| 又 点P、Q都在双曲线上,即将代入得,PQa6故有“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.10用心 爱心 专心
展开阅读全文
相关资源
正为您匹配相似的精品文档
相关搜索

最新文档


当前位置:首页 > 图纸专区 > 大学资料


copyright@ 2023-2025  zhuangpeitu.com 装配图网版权所有   联系电话:18123376007

备案号:ICP2024067431-1 川公网安备51140202000466号


本站为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。装配图网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知装配图网,我们立即给予删除!