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2015-2016学年度第二学期八年级数学教案 学校 姓名 时间 171一元二次方程学习目标1了解一元二次方程及相关概念；(重点)2能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型(难点)教学过程一、情境导入一个面积为120m2的矩形苗圃， 它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为(x2)m. 根据题意，得x(x2)120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】 一元二次方程的识别 下列方程中，是一元二次方程的是_(填入序号即可)y0；2x2x30；3；x223x；x3x40；t22；x23x0；2.解析：由一元二次方程的定义知不是答案为.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)的形式，则这个方程就是一元二次方程【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x2x2ax3；(2)(a1)x|a|12x70.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a2)x2(a1)x30，当a20，即a2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|12，且a10知，当a1时，原方程是一元二次方程解：(1)将方程整理得(a2)x2(a1)x30，a20，a2.当a2时，原方程为一元二次方程；(2)|a|12，a1.当a1时，a10，不合题意，舍去当a1时，原方程为一元二次方程方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值【类型三】 一元二次方程的一般形式 把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项(1)x(x2)4x23x；(2)；(3)关于x的方程mx2nxmxnx2qp(mn0)解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项解：(1)去括号，得x22x4x23x.移项、合并同类项，得3x2x0.二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为0；(2)去分母，得2x23(x1)3(x1)去括号、移项、合并同类项，得2x20.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(mn)x2(mn)xpq0.二次项系数为mn，一次项系数为mn，常数项为pq.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b0；若没有出现常数项c，则c0.探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型 如图，现有一张长为19cm，宽为15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(192x)cm，宽为(152x)cm.根据题意，得(192x)(152x)81.整理得x217x510(00时，有两个不相等的实数根； 当=0时，有两个相等的实数根； 当0，即 0，即可得出k的取值范围。试一试：1. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的取值范围。 2、思考：对于方程 (a0)中，当a、b、c的符号满足什么条件时，不用计算的值就可以判断方程一定有两个不相等的实数根。（三）总结教学，升华主题今天我们学习了什么？1）一元二次方程的根的判别式表达形式、符号、应用。2）通过根的判别式的研究过程，深刻体会分类的思想方法和转化的思想方法。设计意图：引领学生思索，引导学生树立积极正确的人生观和价值观。3）明辨是非,建立一个做人的判别式,做一个对社会有益的人,积极正确的人生观、价值观的导向。（四）课后练习，巩固提高 课本第36页习题17.3 1、必做题：第1、2、3题。 2、选做题：第4、5题 17.4一元二次方程的根与系数的关系(1)1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。教学重点：根与系数的关系的推导、运用。教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。教学过程：一、问题情境，导入新课：解下列方程，并填写表格：方 程+观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于x的方程的两根，与系数p，q之间有什么关系？（2）关于x的方程的两根，与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？二、探究新知：1、根与系数关系：（1）关于x的方程的两根，与系数p，q的关系是：， 。引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？（2）形如的方程，如果，两根为，引导学生利用上面的结论猜想，与各项系数a、b、c之间有何关系。然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程 ，对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。证明：，当时根为：设，则学生思考、归纳并回答下列问题：（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？（2）运用根与系数的关系要注意些什么？ 三、应用举例例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：（1） （2） （3）（4） （5） （6）例2、已知方程的一个根是3，求另一根及k的值。先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示： 从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？四、巩固练习：1、已知方程的两根互为相反数，求k的值。2、已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值。3、备选题：关于x的方程两实数根的平方和等于11，求k的值。五、归纳小结：1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？六、课后作业：1、若方程的两个根为，则，的值是。2、已知是方程的两个实数根，则的值为。3、若方程的两根为，则的值为 。4、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值。17.4一元二次方程的根与系数的关系(2)学习目标1掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)2会利用根与系数的关系解决有关的问题(难点)教学过程探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值1， 设x1，x2是方程2x24x30的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x12)(x22)；(2).解析：先确定a，b，c的值，再求出x1x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1x2与x1x2的值整体代入求解即可解：根据根与系数的关系，得x1x22，x1x2.(1)(x12)(x22)x1x22(x1x2)42(2)4；(2).方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1x2与x1x2的值整体带入求解即可【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根2， 已知方程5x2kx60的一个根为2，求它的另一个根及k的值解析：由方程5x2kx60可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值解：设方程的另一个根是x1，则2x1，x1.又x12，2，k7.方法总结：对于一元二次方程ax2bxc0(a0，b24ac0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用3， 已知、是关于x的一元二次方程x2(2m3)xm20的两个不相等的实数根，且满足1，求m的值解析：利用韦达定理表示出，再由1建立方程，求m的值解：、是方程的两个不相等的实数根，(2m3)，m2.又1，化简整理，得m22m30.解得m3或m1.当m1时，方程为x2x10，此时1240，方程无解，m1应舍去当m3时，方程为x29x90，此时92490，方程有两个不相等的实数根综上所述，m3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略175一元二次方程的应用学习目标1会列一元二次方程解实际问题；(重点、难点)2进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识教学过程一、情境导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？二、合作探究探究点一：一元二次方程的应用【类型一】 增长(降低)率问题 某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x.根据题意，得60(110%)(1x)2121.5，则(1x)22.25，解得x10.5，x22.5(不合题意，舍去)答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.方法总结：解决平均增长(降低)率问题的关键是明确基础量和变化后的量如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率(或降低率)为x，则两年后的值为a(1x)2.由此列出方程a(1x)2b，求出所需要的量【类型二】 商品销售问题 某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？解：设每件商品涨价x元，根据题意，得(50x40)(50010x)8000，即x240x3000.解得x110，x230.经检验，x110，x230都是原方程的解当x10时，售价为105060(元)，销售量为5001010400(件)；当x30时，售价为305080(元)，销售量为5001030200(件)要尽量减少库存，取x10，此时售价应为60元答：售价应为60元易错提醒：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据【类型三】 几何问题 要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米根据题意，得(603x)(402x)6040，解得x110，x230.检验：如果硬化路面宽为30米，则2306040，不符合题意，所以x230舍去，故x10.答：P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x30不符合题意探究点二：可化为一元二次方程的分式方程 为了保护环境，充分利用水资源，某市经过“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米1.8元调整为2.1元，并提出“超额高费措施”，即每户每月定额用水不超过12m3，超过12m3的部分，另加收每立方米2元的高额排污费(1)某户居民响应节水号召，计划月平均用水量比过去少3m3，这使得260m3的水比过去多用半年，问这户居民计划月平均用水量是多少立方米？(2)如果该户居民响应节水号召后，在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%，其余八个月按计划用水，那么按照新交费法，该户居民一年需要交水费多少元？解析：(1)本题的等量关系有两个：计划月平均用水量3原月平均用水量；计划用水时间原用水时间6；(2)该户一年需交水费超计划用水费用计划用水费用解：(1)这户居民计划平均每月用水xm3.由题意，得6.去分母，化简得x23x1300，解得x110，x213.经检验，x1，x2都是原方程的根，但x13不合实际，舍去，取x10.答：这户居民计划平均每月用水10m3；(2)该户居民有四个月的月平均用水量为10(140%)14(m3)，需交水费142.1(1412)24133.6(元)，其余八个月需交水费102.18168(元)该户居民一年需交水费为133.6168301.6(元)答：该户居民一年需交水费301.6元方法总结：列分式方程解应用题不要忘记检验，检验分两步，一是检验所得未知数的值是不是原方程的根，二是检验所得未知数的值是否使实际问题有意义18.1 勾股定理第1课时勾股定理学习目标1经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题(重点)教学过程一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的证明 作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形求证：a2b2c2.解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是ab，因此它们的面积相等我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理证明：由图易知，这两个正方形的边长都是ab，它们的面积相等左边的正方形面积可表示为a2b2ab4，右边的正方形面积可表示为c2ab4.a2b2ab4c2ab4，a2b2c2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理探究点二：勾股定理【类型一】 直接利用勾股定理求长度 如图，已知在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB交AB于点D，求CD的长解析：先运用勾股定理求出AC的长，再根据SABCABCDACBC，求出CD的长解：在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，由勾股定理得AC2AB2BC2523242，AC4cm.又SABCABCDACBC，CD(cm)，故CD的长是cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用【类型二】 利用勾股定理求面积 如图，以RtABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3，则图中ABE的面积为_，阴影部分的面积为_解析：因为AEBE，E90，所以SABEAEBEAE2.又因为AE2BE2AB2，所以2AE2AB2，所以SABEAB232；同理可得SAHCSBCFAC2BC2.又因为AC2BC2AB2，所以阴影部分的面积为AB2AB2AB232.故分别填，.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系【类型三】 勾股定理与数轴 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.1B1C.1D.解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标图中的直角三角形的两直角边为1和2，斜边长为，1到A的距离是.那么点A所表示的数为1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离【类型四】 利用勾股定理证明等式 如图，已知AD是ABC的中线求证：AB2AC22(AD2CD2)解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AEBC交BC于点E.在ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明证明：如图，过点A作AEBC交BC于点E.在RtABE、RtACE和RtADE中，AB2AE2BE2，AC2AE2CE2，AE2AD2ED2，AB2AC2(AE2BE2)(AE2CE2)2(AD2ED2)(DBDE)2(DCDE)22AD22ED2DB22DBDEDE2DC22DCDEDE22AD2DB2DC22DE(DCDB)又AD是ABC的中线，BDCD，AB2AC22AD22DC22(AD2CD2)【类型五】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且BC3，则AM的长是()A1.5B2C2.25D2.5解析：连接BM，MB.设AMx，在RtABM中，AB2AM2BM2.在RtMDB中，BM2MD2DB2.MBMB，AB2AM2BM2BM2MD2DB2，即92x2(9x)2(93)2，解得x2，即AM2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答【类型六】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在ABC中，AB20，AC15，AD为BC边上的高，且AD12，求ABC的周长解析：应考虑高AD在ABC内和ABC外的两种情形解：当高AD在ABC内部时，如图.在RtABD中，由勾股定理，得BD2AB2AD2202122162，BD16.在RtACD中，由勾股定理，得CD2AC2AD215212281，CD9.BCBDCD25，ABC的周长为25201560；当高AD在ABC外部时，如图.同理可得BD16，CD9.BCBDCD7，ABC的周长为7201542.综上所述，ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况如在本例题中，易只考虑高AD在ABC内的情形，忽视高AD在ABC外的情形第2课时勾股定理的应用学习目标1会用勾股定理解决一些简单的实际问题；(重点)2通过对实际问题的探讨，培养学生分析问题和解决问题的能力教学过程一、情境导入一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？二、合作探究探究点：勾股定理的应用【类型一】 勾股定理的直接应用 如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m每秒的速度收绳问6秒后船向岸边移动了多少(假设绳子是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC5m，BC13m，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可解：在RtABC中，BC13m，AC5m，则AB12m，6秒后，BC10m，则AB5m，则船向岸边移动距离为(125)m.方法总结：本题直接考查勾股定理在直角三角形中的运用，求出6秒后AB的长度是解题的关键【类型二】 利用勾股定理解决方位角问题 如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了100m到达B点，然后再沿北偏西30方向走了100m到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离解析：根据所走的方向可判断出ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解解：ADBE，ABEDAB60.CBF30，ABC180ABECBF180603090.在RtABC中，AB100m，BC100m，AC200(m)，A、C两点之间的距离为200m.方法总结：先确定是直角三角形，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长【类型三】 利用勾股定理解决最短距离问题 如图，长方体的长BE15cm，宽AB10cm，高AD20cm，点M在CH上，且CM5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解：分三种情况比较最短距离：如图所示，AM5(cm)；如图所示，AM25(cm)；如图所示，AM5(cm)5cm5cm25cm，第二种短些，此时最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而进行比较取其最小值即可【类型四】 勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用 如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.解析：RtABC中，B90，则满足AB2BC2AC2.设BCam，ACbm，ADxm，根据两只猴子经过的路程一样可得10axb15解方程组可以求x的值，即可计算树高AB10x.解：RtABC中，B90，设BCam，ACbm，ADxm，则10axb15.a5，b15x.又在RtABC中，由勾股定理得(10x)2a2b2，(10x)252(15x)2，解得x2，即AD2m，ABADDB21012(m)答：树高AB为12m.方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解18.2勾股定理的逆定理第1课时勾股定理的逆定理学习目标1掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用；(难点)2理解勾股数的定义，探索常用勾股数的规律(重点)教学过程一、情境导入据说几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角，你知道为什么吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形(1)在ABC中，A20，B70；(2)在ABC中，AC7，AB24，BC25；(3)ABC的三边长a、b、c满足(ab)(ab)c2.解析：(1)已知两角可以求出另外一个角；(2)使用勾股定理的逆定理验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证解：(1)在ABC中，A20，B70，C180AB90，即ABC是直角三角形；(2)AC2AB272242625，BC2252625，AC2AB2BC2.根据勾股定理的逆定理可知，ABC是直角三角形；(3)(ab)(ab)c2，a2b2c2，即a2b2c2.根据勾股定理的逆定理可知，ABC是直角三角形方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和【类型二】 利用勾股定理的逆定理求角的度数 如图，点P为等边ABC内一点，且PA3，PB4，PC5，求APB的度数解析：根据已知条件PA3，PB4，PC5，易知PA2PB2PC2，但PA、PB、PC不在同一个三角形中，可构造边长分别为3、4、5的直角三角形来解决问题解：在ABC所在的平面内，以A为顶点，AC为边在ABC外作DACPAB，且ADAP.连接DC，PD，则ADCAPB，所以DCPB，APBADC.因为PAAD，PADBAC60，所以APD为等边三角形所以PDPAAD3，ADP60.又因为DCBP4，PC5，且PD2DC2324252PC2，所以PDC为直角三角形且PDC90.所以APBADCADPPDC6090150.方法总结：解答本题的关键是构建全等三角形把长度分别为3、4、5的线段转化为同一个三角形的三边，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形，进而求出角度【类型三】 利用勾股定理的逆定理解决面积问题 如图所示，已知AD是ABC边BC上的中线，BC10cm，AC4cm，AD3cm，求SABC.解析：由DAC的三边长，易判定该三角形是直角三角形，再由面积公式求出DC边上的高，进而可求ABC的面积，也可根据中线等分三角形面积求解解：过点A作AEBC交BC于点E.AD是ABC的中线，CDBC105(cm)CD25225，AD2AC2324225，AD2AC2CD2，DAC是直角三角形SADCADACDCAE，AE(cm)SABCBCAE1012(cm2)方法总结：先用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再用面积法求AE的长，进而求出ABC的面积还可先求出SADC，再由AD是中线，得SABDSADC，即SABC2SADC，从而得解【类型四】 利用勾股定理的逆定理证垂直 如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC5，BD12，两底AD、BC的和为13.求证：ACBD.解析：由于两底的和已知，且对角线长度已知，应先将对角线平移，再寻找解题途径，由勾股定理的逆定理可以判定DBDE，从而证明ACBD.证明：过D作DEAC交BC的延长线于E点又ADBC，四边形ACED为平行四边形DEAC5，CEAD.在BDE中，BD12，DE5，BEBCCEBCAD13，且52122132，DE2BD2BE2，BDE为直角三角形，即BDE90，则DEBD.又DEAC，ACBD.方法总结：利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系探究点二：勾股数 下列几组数中是勾股数的是_(填序号)32，42，52；9，40，41；，；0.9，1.2，1.5.解析：第组不符合勾股数的定义，不是勾股数；第组不是正整数，不是勾股数；只有第组的9，40，41是勾股数故填.方法总结：判断勾股数的方法：必须满足两个条件：一要符合等式a2b2c2；二要都是正整数第2课时勾股定理的逆定理的应用学习目标1熟练掌握勾股定理及其逆定理；(重点)2能灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题(难点)教学过程一、情境导入有一块空白地，ADC90，CD6m，AD8m，AB26m，BC24m.现计划在该空地上进行绿化，若平均每平方米投资100元，那么该空白地的绿化需要投入多少钱？二、合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】 求边长 如图，在ABC中，AB17，C60，D是BC上一点，且BD15，AD8，求AC.解析：在ADC中，已知一边及其对角，要求另一边若ADC不是特殊三角形，则难以求解因此，必须首先判定ADC的形状，然后再解决计算问题解：在ADB中，AD2BD282152172AB2.由勾股定理的逆定理可知，ADB为直角三角形，所以ADB90，所以ADC90.在RtADC中，因为C60，所以CAD30.设DCx，则AC2x.由勾股定理，得x282(2x)2，即3x264.所以x(负值舍去)，故AC2x.方法总结：利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，一般先比较出三条边的大小(若是具体的数值很容易发现；若是一个整式常用作差的方法来确定三条边的大小)，再通过勾股定理的逆定理进行判断【类型二】 求角度 如图，已知ABBC，ABBCAD2，CD2，则DAB_解析：欲求DAB，须先把它转化为三角形的内角或几个内角和连接AC，易知ABC为等腰直角三角形，则BAC45.从而，欲求DAB的大小，只需求出DAC的大小在RtABC中，由勾股定理，得AC2.在ACD中，AC2AD2(2)22212(2)2CD2，由勾股定理的逆定理可知ACD为直角三角形，DAC90.所以DABBACDAC4590135.故填135.方法总结：本题从构造三角形，判定为直角三角形，到勾股定理的应用，充分体现了勾股定理及其逆定理的相互结合，相辅相成【类型三】 求面积 如图，ADCD，AB13，BC12，CD3，AD4，求四边形ABCD的面积解析：四边形ABCD由两个三角形组成，其中ACD是已知的直角三角形，面积易求而已知ABC的两边，形状未知，因此要求其面积，要先应用勾股定理的逆定理来判定它是直角三角形由于已知ABC的两边，需要求出第三边，这可在ACD中用勾股定理求出，最后再求出两个直角三角形的面积，即可得到答案解：ADCD，CD3，AD4，由勾股定理得AC5.在ABC中，AB13，BC12，AC5，AC2BC2AB2.由勾股定理逆定理可知ABC是直角三角形，ACB90，SACD346，SABC51230.S四边形ABCDSACDSABC63036.【类型四】 勾股定理逆定理的实际应用 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形解：ABDC8m，ADBC6m，AB2BC282
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