六年级数学教案-《分数的除法》

六年级数学教案分数的除法根据量、度量单位（基准量）与量数的基本关系：量度量单位（基准量）times;量数。我们已经知道：当a、b是自然数，且bne;0时，除法算式adivide;b表示两种意义：由量divide;基准量（度量单位）量数，可知：adivide;b可以表示a是b的几倍或几分之几。这时a与b表示两个量。由量divide;量数基准量（度量单位），可知：adivide;b可以表示什么数的b倍等于a，或者把a平均分成b份，每份是多少。这时a表示一个量，b表示量数（用所求的量去度量a所得的结果）。从实际问题抽象出来的除法算式adivide;b，究竟表示上述两种意义中的哪一种，必须结合具体情景才能来确定。当a、b为分数时，除法算式adivide;b仍然具有上述两种意义，但必须探索它的算法。分数除法的算法分两种情形来探索：一是除数是整数的情形；二是除数是分数的情形。一、除数是整数的分数除法下图（图1）是一个长方形，把它的涂色部分平均分成2份，每份是这个长方形的几分之几？图1我们可以从前面的分数墻上直接看出这个结果。但是，我们还需要探索，从算式divide;2怎么算出结果呢？算法1：divide;2。一个分数的分子缩小到原来的一半，分母不变，所得的分数就是原来的一半。算法2：因为的一半等于的，所以，divide;2times;。比较上面两种算法，算法1有局限性，它转化为两个整数的除法运算，可是在整数范围除法并非总能实施，畅通无阻。如果图1中的涂色部分平均分成3份，每份是这个长方形的几分之几？算式：divide;3？上面的算法1就行不通了，算法2行得通。因为divide;3的，所以，divide;3times;。图2图2中的斜线部分是长方形的，也验证了上面的算法是正确的。从以上的探索结果，可以产生一个猜想：除以一个整数（零除外）等于乘这个整数的倒数。这个猜想是否成立？有待检验。理解分数除法的意义，还有另一条重要途径。在探索分数乘法意义的时候，我们得到一个重要的数量关系：量度量单位times;量数从这个基本关系可以引伸出两个变式：量divide;量数度量单位，或量divide;度量单位量数。因此，对于除法算式divide;3？的意义，可以作这样解释：用什么数为度量单位去度量时，量数是3？于是便有下面的代数解法：设divide;3x，可得，3x，xtimes;，x。即divide;3。在图2中，用斜线部分（即）为度量单位去度量涂色部分（即）时，量数的确是3。这里，我们又看到了，代数的方法与图形的直观相互印证，和谐统一。代数在解法的过程中，注意到divide;3x和xtimes;，得divide;3times;。这也验证了一个数学事实：除以一个自然数（零除外）等于乘这个数的倒数。二、除数是分数的除法这个探索其实不必再从具体情景或实际操作入手。因为前面在探索除数是整数的分数除法的时候，已经获得了重要的数学事实：除以一个自然数（零除外）等于乘这个数的倒数。因此，可以类比，得到猜想：除以一个分数是否等于乘这个分数的倒数呢？验证这个猜想，除了教材提供的方法外，还有其他途径。途径1：用代数方法检验。计算：8divide;？设8divide;x，可得，x8，x8times;，x12。注意到8divide;x和x8times;，即8divide;8times;。途径2：从已知到未知的推理。8divide;8times;（1divide;）8times;根据倒数关系：times;112。因此，无论除数是整数还是分数，分数除法只有如下法则：除以一个数（零除外）等于乘这个数的倒数。这个法则也告诉我们，倒数概念的重要性：有了倒数，乘法和除法两种不同的运算可以统一为乘法运算。（2006年10月2日，写于福州，修改于2007年2月26日）