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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修2-2,数系的扩充与复数的引入,第三章,3.1数系的扩充与复数的概念,第三章,3.1.1数系的扩充与复数的概念,1在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用 2理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示 3理解复数相等的充要条件,重点：1.复数的概念与复数的代数形式 2复数的分类 难点：复数的概念及分类，复数相等,我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但在实数集中，我们已知一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时无实数解，我们能否设想一种方法使得0时方程也有解呢？,数系的扩充与复数的概念,思维导航,1数系扩充的原因、脉络、原则 脉络：自然数系整数系有理数系实数系_ 原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用 原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)_适用；,新知导学,复数系,依然,(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系_； (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾 2对于方程x22x30，由于8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数i，使得i21，则此方程的解可写成x1_，x2_. 3复数的定义：形如abi(a、bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2_. 这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的_与_全体复数构成的集合叫做_,保持不变,1,实部,虚部,复数集,牛刀小试,2若复数za232ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为_ 答案1或3 解析由条件知a232a0， a1或a3.,4复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么abicdi_. 5复数zabi(a、bR)，z0的充要条件是_，a0是z为纯虚数的_条件 6复数的分类 (1)复数zabi(a、bR)，z为实数_，z为虚数_，z为纯虚数_.,复数的相等与复数的分类,新知导学,ac且bd,a0且b0,必要不充分,b0,b0,(2)集合表示：,牛刀小试,4已知A1,2，(a23a1)(a25a6)i，B1，3，AB3，则实数a的值为_ 答案1,5若复数z(m1)(m29)i0，则实数m的值等于_ 答案3,6(2014微山一中高二期中)实数m分别取什么数值时，复数z(m25m6)(m22m15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0. 解析由m25m60得，m2或m3，由m22m150得m5或m3. (1)当m22m150时，复数z为实数，m5或3； (2)当m22m150时，复数z为虚数，m5且m3.,下列命题中，正确命题的个数是_ 若x、yC则xyi1i的充要条件是xy1； 若a、bR且ab，则aibi； 若x2y20，则xy0； 若aR，则(a1)i为纯虚数 分析(1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；是复数比较大小，必须全是实数才可比较；是在实数条件下x20求得结果，当x为复数时，x20未必成立；(4)要按复数是纯虚数的充要条件判断,复数的概念,解析由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题 由于两个虚数不能比较大小， 是假命题 当x1，yi时 x2y20成立，是假命题 当a1时，aR，但(a1)i0不是纯虚数 答案0,方法规律总结学习本章必须准确理解复数的概念 (1)复数的代数形式： 若zabi，只有当a、bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分,(3)虚数单位i的性质： i21. i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律 由于i20与实数集中a20(aR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立 例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小,下列命题正确的是_ 若实数a与ai对应，则实数与纯虚数一一对应； 若zabi，则当且仅当a0且b0时，z为纯虚数； 复数i1的虚部为1. 答案 解析实数与纯虚数不能建立一一对应关系，故错；若zabi为纯虚数，则需a，bR且a0且b0，题目中漏掉条件a，bR，故错；显然正确,复数的分类,方法规律总结1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解 2对于复数zabi(a、bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它 3形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件bR 且b0时，形如bi的数才是纯虚数,实数k为何值时，复数z(k23k4)(k25k6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？,复数相等的条件,已知2x1(y1)ixy(xy)i， 求实数x，y的值,方法规律总结找到两复数的实部与虚部后，根据复数相等的充要条件，实部与虚部分别相等即可求得x、y的值,已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1,4i，若MPP，则实数m的值为_ 答案1或2 分析由MPP知，M是P的子集，从而可知(m22m)(m2m2)i1或4i，利用复数相等的条件可求得m的值,准确掌握概念,在下列命题中，正确命题的个数是() 两个复数不能比较大小； 若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1z2； 若a、b是两个相等的实数，则(ab)(ab)i是纯虚数 A0B1 C2D3,错解两个复数不能比较大小，故正确； 设z1mi(mR)，z2ni(nR) z1与z2的虚部相等，mn，z1z2，故正确 若a、b是两个相等的实数，则ab0， 所以(ab)(ab)i是纯虚数，故正确 综上可知：都正确，故选D. 辨析两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(bR且b0)虚数为abi(a，bR，且b0)中要保证ab0才可能是纯虚数,正解两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故是不正确的； 设z1abi(a，bR，b0)，z2cdi(c，dR且d0)，bd，z2cbi. 当ac时，z1z2，当ac时，z1z2，故是错误的，当ab0时，ab(ab)i是纯虚数，当ab0时，ab(ab)i0是实数，故错误，因此选A.,警示复数有许多与实数不同的性质，在引用实数的一些结论时，一定要考虑在复数集中是否还成立，如两个实数可以比较大小，但不全为实数的两个复数就不能比较大小；在今后学习过程中要注意将复数集与实数集不同的一些性质积累起来,
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