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1.2 函数及其表示,1.2.1 函数的概念,设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x值对应的y的值叫做函数的值域。,初中学习的函数的概念是什么？,思考？,下面先看几个实例：,(1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2 (*) 这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=t|0t26,炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B =h|0h845.从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系(*)，在数集B中都有唯一的高度h和它对应。,(2) 近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积从19792001年的变化情况：,根据下图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A =t|1979t2001，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B =S|0S26.并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.,(3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。,归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量之间的关系可以描述为： 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 f: AB.,设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),xA,其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值合f(x)|xA叫做函数的值域。,例1 下列说法中，不正确的是( ) A、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B、函数的定义域和值域一定是无限集合 C、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 D、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素,B,例2、对于函数y=f(x)，以下说法正确的有( ) y是x的函数 对于不同的x,y的值也不同 f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个,B,例3、给出四个命题： 函数就是定义域到值域的对应关系 若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素 因f(x)=5(xR),这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立 定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了 正确有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个,D,设a,b是两个实数，而且ab, 我们规定： (1)、满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为 a,b. (2)、满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a,b). (1)、满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 a,b)或(a,b.,区间的概念:,这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。,注意：用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。,实数集R可以用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”。 满足xa,xa,xa,xa的实数的集合分别表示为 a, +)、(a, +)、(-，a、(-,a).,例1、试用区间表示下列实集： x|5 x6 (2) x|x 9 (3) x|x -1 x| -5 x2 (4) x|x 9x| -9 x20,一、函数的定义域,函数的定义域通常是由问题的实际背景确定的，如前面所述的三个实例。如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。,C,C,求定义域的几种情况：,(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合 (3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）,二、两个函数相等,由于函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。,练习1、下列说法中正确的有( ) (1)y=f(x)与y=f(t)表示同一个函数 (2) y=f(x)与y=f(x+1)不可能是同一个函数 (3) f(x)=1与g(x)=x0是同一函数 (4)定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个,练习2、下列各组函数表示同一函数的是( ),A,D,课堂练习,求下列函数的定义域 （1） （2） （4） （5）,已知fg(x)的定义域为D，则f(x)的定义域为g(x)在D上值域。,已知复合函数定义域求原函数定义域,例如、若函数y=f(x+1)的定义域为-2，3，则y=f(2x-1)的定义域是（ ）。 A、0，5/2 B、-1，4 C、-5，5 D、-3，7,A,复合函数,已知fg(x)的定义域为D，则f(x)的定义域为g(x)在D上值域。,已知复合函数定义域求原函数定义域,例如、若函数y=f(x+1)的定义域为-2，3，则y=f(2x-1)的定义域是（ ）。 A、0，5/2 B、-1，4 C、-5，5 D、-3，7,A,三、函数的值域,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域,例1、求函数 的值域,例2、求函数 的值域,例3、函数 的值域为( ) A、 (-,5 B、 (0,+ ) C、5,+ ) D、(0,5,D,练习、函数 的值域为( ) A、(-,2 B、(- ,4 C、2,4 D、2, +),C,本节小结：,1.函数的概念,2.函数的三要素,3.函数的定义域与值域的求解,4.两个函数相等,
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