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第21讲 圆的有关性质,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一圆的有关概念,1.圆的两种定义 (1)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. (2)在同一平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆.,2.弦和弧 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是圆中最长的弦. (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.弧可分为劣弧、半圆和优弧. 3.同心圆和等圆:圆心相同的圆叫做同心圆;半径相等的圆叫做等圆.,4.圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 5.弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距,即由圆心向弦作垂线段,则这条垂线段的长度叫做弦心距.,知识点二圆的有关性质 1.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴; (2)圆是中心对称图形,对称中心是圆心.,2.垂径定理及其推论 (1)定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧. (2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 温馨提示(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条成立,那么其他的结论也成立.,3.圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. (2)推论:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,4.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,都等于它所对圆心角的一半. (2)推论:同弧或等弧所对的圆周角相等;半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对是 直径. 温馨提示(1)同一条弧所对的圆周角相等,同一条弦所对的圆周角相等或互补;(2)当已知条件中有直径时,常常作直径所对的圆周角,这是圆中常作的辅助线;(3)等弧只存在于同圆或等圆中,是指能够完全重合的弧,而不是弧长相等或者所对圆心角相等的弧.,知识点三圆内接四边形 1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角互补.,泰安考点聚焦,考点一垂径定理及其推论 中考解题指导大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结论”,并熟练运用定理本身和它的推论.,例1(2017泰安一模)如图,AB是O的直径,点D平分弧AC,AC=5, DE=1.5,则OE=.,解析OD为O半径,点D平分弧AC,AC=5, ODAC,AE=CE=2.5. 设OE=x, DE=1.5,OA=OD=x+1.5. 在RtAEO中,AE2+OE2=AO2, 即2.52+x2=(x+1.5)2,解得x= .,变式1-1一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排水管水面宽CD等于1.6m.,解析如图,作OEAB于点E,交CD于点F,连接OC. AB=1.2 m,OEAB, 由垂径定理知AE=0.6 m. OA=1 m,OE=0.8 m. 水管水面上升了0.2 m, EF=0.2 m, OF=0.8 m-0.2 m=0.6 m, CF= = =0.8(m),CD=1.6 m.,考点二圆心角、弧、弦的关系 例2如图,D,E分别是O的半径OA,OB上的点,CDOA,CEOB,CD=CE,则与的大小关系是=.,解析CDOA,CEOB, CDO=CEO=90, 又CD=CE,CO=CO, CODCOE.COD=COE, =.,变式2-1(2017甘肃兰州)如图,在O中,的长=的长,点D在 O上,CDB=25,则AOB=( B ) A.45B.50 C.55D.60,解析连接OC.CDB=25, COB=50.又=, AOB=COB=50,故选B.,变式2-2如图,AB是半圆的直径,点D是弧AC的中点,ABC=50,则DAB等于( C ) A.55B.60 C.65D.70,解析连接BD,如图. 点D是弧AC的中点,即 的长= 的长, ABD=CBD,又ABC=50, ABD=50=25, AB是半圆的直径, ADB=90,DAB=90-25=65.故选C.,方法技巧熟记并能灵活运用圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论是解决此类问题的关键.,考点三圆周角定理及其推论 例3(2017泰安)如图,ABC内接于O,若A=,则OBC等于( D ) A.180-B.2C.90+D.90-,解析连接OC,则BOC=2A=2, OB=OC, OBC=OCB=(180-2)=90-.,变式3-1(2016泰安)如图,ABC内接于O,AB是O的直径,B=30,CE平分ACB交O于E,交AB于点D,连接AE,则SADESCDB=( D ),A.1B.1 C.12 D.23,解析如图所示,连接OE.,AB是O的直径,ACB=90. 在RtACB中,B=30, 设AC=x,则AB=2x,BC=x, OA=x.,CE平分ACB, ACE=BCE=ACB=45, BAE=BCE=45, AOE=2ACE=90, AOE为等腰直角三角形, AE=x, BAE=BCE,ADE=BDC, ADECDB, SADESCDB= = =23.故选D.,变式3-2(2018泰安)如图,O是ABC的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为4.,解析连接OB,OC, A=45,BOC=90. OB=OC, BOC为等腰直角三角形. BC=4,OB=OC=2, 圆的直径为22=4.,方法技巧求圆周角的度数,可以转化为求同弧所对的圆心角的度数,同理,求圆心角的度数,可以转化为求同弧所对的圆周角的度数.,考点四圆内接四边形的性质 中考解题指导圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的外角等于它的内对角,此知识点较为简单,但也是非常容易忽略的,当碰到圆与四边形结合的题目时,要优先考虑圆内接四边形的性质和推论.,例4(2017泰安)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若ABC=55,则ACD等于( A ) A.20B.35 C.40D.55,解析连接OC,CM所在直线为O的切线,CMOC. CMAM,OCAM, DAC=ACO. 又OA=OC,OAC=ACO, DAC=OAC. AB为O的直径,ACB=90, ABC=55,CAO=DAC=35.,四边形ABCD为O的内接四边形, ADC+ABC=180,ADC=125, ACD=180-DAC-ADC=180-35-125=20.,变式4-1如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行四边形,则ADC的大小为( C ) A.45B.50 C.60D.75,解析设ADC=x,则AOC=2x.四边形ABCO是平行四边形,B=AOC.四边形ABCD是O的内接四边形,B+D=180,x+2x=180,x=60.ADC=60.故选C.,变式4-2如图,A,B,C三点在O上,且CBD=60,那么AOC=120.,解析如图,在优弧AC上取一点E,连接AE,CE,则四边形ABCE为圆的内接四边形,且AOC=2AEC, AEC+ABC=180, CBD+ABC=180, AEC=CBD=60. AOC=2AEC=120. 方法技巧通过圆内接四边形对角互补的性质,实现角与角之,方法技巧通过圆内接四边形对角互补的性质,实现角与角之 间的转化,这是解决此类问题的关键.,一、选择题 1.(2018济宁)如图,点B,C,D在O上,若BCD=130,则BOD的度数是( D ) A.50B.60C.80D.100,随堂巩固训练,2.在半径为13的O中,弦ABCD,弦AB和CD的距离为7,若AB=24,则CD 的长为( D ) A.10B.4 C.10或4D.10或2,3.(2018湖北武汉)如图,在O中,点C在优弧上,将弧 折叠后 刚好经过AB的中点D.若O的半径为,AB=4,则BC的长是( B ) A.2B.3C.D.,二、填空题 4.如图,将半径为4 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为4cm.,解析连接AO,过O作ODAB,交于点D,交弦AB于点E., 折叠后恰好经过圆心O, OE=DE. O的半径为4 cm,OE= OD=4=2 cm, 由ODAB,知AB=2AE, 在RtAOE中, AE= = =2 cm, AB=2AE=4 cm.,三、解答题 5.如图,以ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为D,E,且 = . (1)试判断ABC的形状,并说明理由; (2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sinABD的值.,解析(1)ABC为等腰三角形.理由如下:连接AE,如图所示. 的长= 的长,DAE=BAE,即AE平分BAC. AB为直径,AEB=90, AEBC,AB=AC, ABC为等腰三角形. (2)由(1)知ABC为等腰三角形,AEBC, BE=CE=BC=12=6.,在RtABE中, AB=10,BE=6,AE=8. AB为直径,ADB=90, AEBC=BDAC, BD= =81210=9.6. 在RtABD中,AB=10,BD=9.6,根据勾股定理得AD= = =2.8, sinABD= = = .,
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