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专题七几何图形的探究猜想与证明,类型一一般的猜想探究题 题型特点 一般几何题的猜想与证明近几年在中考中间断性出现,以学生探究为主线,置身于数学问题的发现与解决中,一般在22题以综合与实践的形式出现,考查学生分析问题、解决问题的能力.常综合平行线、等腰三角形(等边三角形)、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形等知识为一体,借助逻辑推理一步一步证明,建立方程模型思想,如常见的通过勾股定理、相似三角形对应边成,研题型解易,比例、解直角三角形、面积法、平行线分线段成比例定理等得出关于未知数的方程,从而求解. 方法规律 在复习一般几何题的猜想探究题目时,要注意证明推理和方程模型计算的综合,要对条件进行合理猜想与推理,结合自己的解题经验及对题目的把握灵活处理.复习时注意以下几点:1、注意总结考查知识的面与点,了解此类题目的特点;2、针对此类问题的练习要注意总结知识间的联系,提升思维的开放性;3、针对自己在做题中遇到的问题进行相应的总结与练习,不断提升分析问题、解决问题的能力.,典例1(2018山西)问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系. 探究展示: 勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:,解题策略,图1,证明:BE=AB, AE=2AB.,AD=2AB, AD=AE. 四边形ABCD是矩形, ADBC. =.(依据1) BE=AB, =1. EM=DM.,即AM是ADE的DE边上的中线, 又AD=AE, AMDE.(依据2) AM垂直平分DE. 反思交流: (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么? 试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明; (2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出,证明; 探索发现: (3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上?请写出一个你发现的结论,并加以证明.,图2,图3,思路点拨根据平行线分线段成比例,三线合一,正方形、矩形性质,全等等知识解答. (1)答:依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例). 依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”). 答:点A在线段GF的垂直平分线上. (2)证明GHCCBE,得出HCBH.,(3)先证ENFEBC,再证BMMC.,开放解答,解析(1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例). 依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”). 点A在线段GF的垂直平分线上. (2)过点G作GHBC于点H,证明:过点G作GHBC于点H.,四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=GHC=90. 1+2=90. 四边形CEFG为正方形,CG=CE,GCE=90.1+3=90,2=3.,GHCCBE.HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH. GH垂直平分BC.点G在BC的垂直平分线上. (3)过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N,点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上). 证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N.,则有BMN=ENM=ENF=90. 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=90. 四边形BENM为矩形.BM=EN,BEN=90.1+2=90.,四边形CEFG为正方形,EF=EC,CEF=90.2+3=90.1=3. CBE=ENF=90,ENFEBC.NE=BE.BM=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,AB=BE,BC=2BM.BM=MC.FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上. 证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.,四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=N=90. 1+3=90. 四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90. 1+2=90,2=3. ENFCBE.NF=BE,NE=BC. 四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a. BF=a, CE=a, CF=CE=a. BF=CF.FCB为等腰三角形.点F在BC边的垂直平分线上.,当堂巩固,1.(1)如图1,四边形ABDC是正方形,以A为顶点,作等腰直角三角形AEF,EAF=90,线段BE与CF之间的数量关系为:(直接写出结果,不需要证明); (2)如图2,四边形ABDC是菱形,以A为顶点,作等腰三角形AEF,AE=AF,BAC=EAF,(1)中结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (3)如图3,四边形ABDC是矩形,以A为顶点,作直角三角形AEF,EAF=90,AB=AC,AE=AF,当EAB=60时,延长BE交CF于点G. 求证:BECF; 当AB=12,AE=4时,求线段BG的长.,解析(1)BE=CF. 理由:如题图1,四边形ABDC是正方形, AC=AB,CAB=EAF=90,FAC=EAB, AF=AE,FACEAB,CF=BE. (2)结论成立. 理由:如题图2,CAB=FAE,FAC=EAB, AF=AE,AC=AB,FACEAB,CF=BE. (3)如图,设AC交BG于O. FAE=CAB=90,FAC=EAB, AB=AC,AE=AF, =, =,FACEAB,ACF=ABE, COG=AOB,CGO=OAB=90,BGCF. 延长AE交BC于M.tanABC=,ABC=30, MAB=60,AMB=90. AB=12,AM=6,BM=6, AE=4,EM=2,BE=4, ABC=30,BAC=90,BC=AB=8. 又cosCBG=,=,BG=.,类型二图形平移型 题型特点 图形平移的探究题近几年在中考中间断性出现,主要以探究为主线,令学生置身于数学问题的发现与解决中,一般在22题以综合与实践、23题结合函数以压轴题的形式出现,考查学生分析问题和解决问题的能力.常综合平行线、等腰三角形(等边三角形)、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形等知识为一体,借助逻辑推理一步一步证明,建立方程模型思想,如常见的通过勾股定理、相似三角形对应边成比例、解直角三角形、面积法、平行线分线段成比例定理等得出关于未知数的方程,从而求解.,方法规律 平移不改变图形的大小和形状,对应线段相等,对应角相等.综合复习时要注意证明推理和方程模型计算的综合,要对条件进行合理猜想与推理,结合自己的解题经验及对题目的把握灵活处理.复习时注意以下几点:1、注意总结考查知识的面与点,了解此类题目的特点;2、针对此类问题的练习要注意总结知识间的联系,提升思维的开放性;3、针对自己在做题中遇到的问题进行相应的总结与练习,不断提升分析问题和解决问题的能力.,解题策略 典例2(2018贵港)已知:A、B两点在直线l的同一侧,线段AO,BM均是直线l的垂线段,且BM在AO的右边,AO=2BM,将BM沿直线l向右平移,在平移过程中,始终保持ABP=90,BP边与直线l相交于点P. (1)当P与O重合时(如图2所示),设点C是AO的中点,连接BC.求证:四边形OCBM是正方形; (2)请利用如图1所示的情形,求证:=; (3)若AO=2,且MO=2PO,请直接写出AB和PB的长.,思路点拨(1)先证明四边形OCBM是平行四边形,再由BMO=90,得出OCBM是矩形,最后根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM是正方形.,(2)连接AP、OB,由于ABP=AOP=90,所以A、B、O、P四点共圆,从而利用圆周角定理可证明APB=OBM,所以APBOBM,利用相似三角形的性质即可求出答案. (3)由于点P的位置不确定,故需要分情况进行讨论,共两种情况,第一种情况是点P在O的左侧时,第二种情况是点P在O的右侧时,然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质、勾股定理即可求出答案.,开放解答 解析(1)2BM=AO,2CO=AO, BM=CO, AOBM,四边形OCBM是平行四边形, BMO=90,OCBM是矩形, ABP=90,C是AO的中点, OC=BC, 矩形OCBM是正方形.,(2)如图,连接AP、OB, ABP=AOP=90,A、B、O、P四点共圆, 由圆周角定理可知APB=AOB, AOBM,AOB=OBM, APB=OBM,APBOBM, =. (3)当点P在O的左侧时,如图所示, 过点B作BDAO于点D, 易证PEOBED,=, 易证四边形DBMO是矩形,BD=MO,OD=BM, MO=2PO=BD,=, AO=2BM=2,BM=,OE=,DE=, 易证ADBABE,AB2=ADAE, AD=DO=DM=,AE=AD+DE=, AB=,由勾股定理可知BE=,易证:PEOPBM, =,PB=. 当点P在O的右侧时,如图所示, 过点B作BDOA于点D, MO=2PO,点P是OM的中点,设PM=x,则BD=2x, AOM=ABP=90,A、O、P、B四点共圆, 四边形AOPB是圆内接四边形, BPM=A,ABDPBM,=, 又易证四边形ODBM是矩形,AO=2BM,AD=BM=,=, 解得x=,BD=2x=2, 由勾股定理可知,AB=3,PB=3.,当堂巩固 2.如图,在平面直角坐标系中,点F的坐标为(0,10),点E的坐标为(20,0),直线l1经过点F和点E,直线l1与直线l2:y=x相交于点P. (1)求直线l1的表达式和点P的坐标; (2)矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上,点A与点F重合,点B在线段OF上,边AD平行于x轴,且AB=6,AD=9,将矩形ABCD沿射线FE的方向平移,边AD始终与x轴平行,已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动(点A移动到点E 时停止移动),设移动时间为t秒(t0). 矩形ABCD在移动过程中,B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或,l2上,请直接写出此时t的值; 若矩形ABCD在移动的过程中,直线CD交直线l1于点N,交直线l2于点M,当PMN的面积等于18时,请直接写出此时t的值.,解析(1)设直线l1的表达式为y=kx+b(k0), 直线l1过点F(0,10)和点E(20,0), 解得 直线l1的表达式为y=-x+10, 解方程组得 点P的坐标为(8,6).,(2)或.-.,类型三图形旋转型 题型特点 图形的旋转型探究题近几年在中考中间断性出现,主要以探究为主线,令学生置身于数学的问题发现与解决中,一般在22题以综合与实践、23题结合函数以压轴题的形式出现,考查学生分析问题和解决问题的能力.常综合平行线、等腰三角形(等边三角形)、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形等知识为一体,借助逻辑推理一步一步证明,建立方程模型思想,如常见的通过勾股定理、相似三角形对应边成比例、解直角三角形、面积法、平行线分线段成比例定理等得出关于未知数的方程,从而求解.,方法规律 旋转不改变图形的大小和形状,对应线段相等,对应角相等;对应点的连线与旋转中心的夹角叫旋转角.综合复习时要注意证明推理和方程模型计算的综合,要对条件进行合理猜想与推理,结合自己的解题经验及对题目的把握灵活处理.,解题策略 典例3(2018烟台)问题解决: (1)一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出APB的度数吗? 小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:将BPC绕点B逆时针旋转90,得到BPA,连接PP,求出APB的度数; 思路二:将APB绕点B顺时针旋转90,得到CPB,连接PP,求出APB的度数. 请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程;,类比探究: (2)如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求APB的度数. 思路点拨(1)思路一:先利用旋转求出PBP=90,BP=BP=2,AP=CP=3,再,利用勾股定理求出PP,进而判断出APP是直角三角形,得出APP=90,即可得出结论; 思路二:同思路一的方法即可得出结论; (2)同(1)的思路一的方法即可得出结论.,开放解答 解析(1)如图1,将BPC绕点B逆时针旋转90, 得到BPA,连接PP,ABPCBP, PBP=90,BP=BP=2,AP=CP=3, 在RtPBP中,BP=BP=2, BPP=45,根据勾股定理得, PP=BP=2, AP=1,AP2+PP2=1+8=9, AP2=32=9,AP2+PP2=AP2, APP是直角三角形,且APP=90, APB=APP+BPP=90+45=135.,(2)如图2,将BPC绕点B逆时针旋转90,得到BPA,连接PP, ABPCBP,PBP=90,BP=BP=1,AP=CP=, 在RtPBP中,BP=BP=1, BPP=45,根据勾股定理得, PP=BP=, AP=3,AP2+PP2=9+2=11, AP2=()2=11,AP2+PP2=AP2, APP是直角三角形,且APP=90, APB=APP-BPP=90-45=45.,当堂巩固 3.如图,已知AOB=60,在AOB的平分线OM上有一点C,将一个120角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E. (1)当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由; (2)当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由; (3)当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给予证明;若不成立,则线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需要证明.,解析(1)OM是AOB的平分线, AOC=BOC=AOB=30, CDOA,ODC=90,OCD=60, OCE=DCE-OCD=60, 在RtOCD中,OD=OCcos 30=OC, 同理OE=OC,OD+OE=OC. (2)(1)中结论仍然成立,理由: 如图1,过点C作CFOA于F,CGOB于G,OFC=OGC=90, AOB=60,FCG=120, 同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC, OF+OG=OC, CFOA,CGOB,且点C是AOB的平分线OM上一点, CF=CG, DCE=120,FCG=120,DCF=ECG, CFDCGE,DF=EG,OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG, OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE, OD+OE=OC. (3)(1)中结论不成立,结论为:OE-OD=OC.,理由:如图2,过点C作CFOA于F,CGOB于G, OFC=OGC=90, AOB=60,FCG=120, 同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC, OF+OG=OC, CFOA,CGOB,且点C是AOB的平分线OM上一点, CF=CG,DCE=120,FCG=120, DCF=ECG,CFDCGE,DF=EG,OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG, OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD, OE-OD=OC.,类型四图形折叠型 题型特点 图形的折叠探究题近几年在中考中间断性出现,主要以操作探究为主,令学生置身于数学的问题发现与解决中,一般在22题以综合与实践出现,考查学生分析问题和解决问题的能力.常综合平行线、等腰三角形(等边三角形)、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形等知识为一体,借助逻辑推理一步一步证明,建立方程模型思想,如常见的通过勾股定理、相似三角形对应边成比例、解直角三角形、面积法、平行线分线段成比例定理等得出关于未知数的方程,从而求解.,方法规律 折叠前后,图形的大小和形状不变,对应线段相等,对应角相等.综合复习时要注意证明推理和方程模型计算的综合,要对条件进行合理猜想与推理,结合自己的解题经验及对题目的把握灵活处理.,解题策略 典例4(2018昆明)如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DPCP),APB=90,将ADP沿AP翻折得到ADP,PD的延长线交边AB于点M,过点B作BNMP交DC于点N. (1)求证:AD2=DPPC; (2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由; (3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若=,求的值.,思路点拨(1)先证ADPPCB,从而得到=,从而证得AD2=DPDC. (2)因为CDAB,所以DPA=PAM,由题意可知:DPA=APM,所以PAM=APM,由于APB-PAM=APB-APM,即ABP=MPB,从而可知PM=MB=AM,又易证四边形PMBN是平行四边形,所以四边形PMBN是菱形.,(3)由于=,可设DP=a,AD=2a,易证PCFBAF,PCEMAE,从而 可得=,=,从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC,从而可得 =.,开放解答 解析(1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,C=D=90,DAP+APD=90, APB=90,CPB+APD=90,DAP=CPB, ADPPCB,=,ADCB=DPPC. AD=BC,AD2=DPPC. (2)四边形PMBN为菱形,理由如下: 在矩形ABCD中,CDAB, 又BNPM,四边形PMBN为平行四边形,ADP沿AP翻折得到ADP,APD=APM, CDAB,APD=PAM,APM=PAM, APB=90, PAM+PBA=90,APM+BPM=90, 又APM=PAM,PBA=BPM,PM=MB. 平行四边形PMBN为菱形. (3)解法一:APM=PAM,PM=AM, PM=MB,AM=MB, 四边形ABCD为矩形,CDAB且CD=AB,设DP=a,则AD=2DP=2a,由AD2=DPPC得PC=4a, DC=AB=5a,MA=MB=, CDAB,ABF=CPF,BAF=PCF, BFAPFC,=,=, 同理可得MEAPEC, =,=, =-=-=,=,=. 解法二:如图,过点F作FGPM,交MB于点G. APM=PAM,PM=AM,PM=MB, AM=MB,四边形ABCD为矩形,CDAB且CD=AB, 设DP=a,则AD=2DP=2a,由AD2=DPPC得PC=4a,DC=AB=5a,MA=MB=. CDAB,CPF=ABF,PCF=BAF, PFCBFA,=, FGPM,=,=, AM=MB,=,FGPM,=.,当堂巩固 4.背景阅读:早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作周髀算经中.为了方便,在本题中,我们把三边的比为345的三角形称为(3,4,5)型三角形.例如:三边长分别为9,12,15或3,4,5的三角形就是(3,4,5)型三角形.用矩形纸片按下面的操作 方法可以折出这种类型的三角形. 实践操作:如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8 cm,AB=12 cm. 第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.,第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF. 第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到ADH,再沿AD折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.,问题解决 (1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形; (2)请在图4中判断NF与ND的数量关系,并加以证明; (3)请在图4中证明AEN是(3,4,5)型三角形; 探索发现 (4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.,解析(1)证明:四边形ABCD是矩形, D=DAE=90, 由折叠的性质得,AE=AD,AEF=D=90, D=DAE=AEF=90,四边形AEFD是矩形, AE=AD,矩形AEFD是正方形. (2)NF=ND.理由:连接HN,由折叠得ADH=D=90,HF=HD=HD,四边形AEFD是正方形,EFD=90, ADH=90,HDN=90, 在RtHNF与RtHND中, RtHNFRtHND,NF=ND. (3)四边形AEFD是正方形,AE=EF=AD=8 cm, 由折叠得,AD=AD=8 cm,设NF=x cm,则ND=x cm, 在RtAEN中,AN2=AE2+EN2,(8+x)2=82+(8-x)2, 解得x=2,AN=8+x=10 cm,EN=6 cm,ENAEAN=345,AEN是(3,4,5)型三角形. (4)图4中还有MFN,MDH,MDA是(3,4,5)型三角形,CFAE,MFNAEN, ENAEAN=6 8 10=345,FNMFMN=345, MFN是(3,4,5)型三角形. 同理,MDH,MDA是(3,4,5)型三角形.,
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