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第14讲二次函数的综合应用,考点一二次函数中的线段问题(5年2考) 与动点结合,用含有变量的关系式表示线段的长,也可以结合自变量的取值范围,确定线段的最值.,夯基础学易,1.(2018贵港)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,-3). (1)求这个二次函数的表达式; (2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PHx轴于点H,与BC交于点M,连接PC. 求线段PM的长的最大值; 当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.,解析(1)将A,B,C三点坐标代入函数解析式,得 解得 这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3. (2)设BC的解析式为y=kx+b(k0), 将B,C的坐标代入函数解析式,得解得 BC的解析式为y=x-3, 设M(n,n-3)(0n3),P(n,n2-2n-3),PM=(n-3)-(n2-2n-3)=-n2+3n=-+, 当n=时,PM最大=. 当PM=PC时,(-n2+3n)2=n2+(n2-2n-3+3)2, 解得n1=0(不符合题意,舍去),n2=2,n3=3-, n2-2n-3=-3,P(2,-3); 当PM=MC时,(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2, 解得n1=0(不符合题意,舍去),n2=3-, n2-2n-3=2-4,P(3-2,2-4). 综上所述:P(2,-3)或(3-,2-4).,学法提点 本题考查了二次函数综合应用,解(1)问的关键是利用待定系数法求函数解析式;解(2)问的关键是利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数,又利用了二次函数的性质;解(2)问的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程,要分类讨论,以防遗漏.,考点二二次函数中的分类讨论问题(5年5考) 与动点结合,考查综合解决问题的能力,同时渗透分类讨论的思想.,2.(2018湖南衡阳,25,10分)如图,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线经过A、B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PCx轴于点C,交抛物线于点D. (1)若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.求点M、N的坐标;是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;,(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.,解析(1)如图1, 图1,y=-2x2+2x+4=-2+,顶点M的坐标为,将x=代入y=-2x+4,得y =-2+4=3,则点N的坐标为. 不存在.理由如下:MN=-3=,假设存在满足题意的点P, 设P点坐标为(m,-2m+4),则D(m,-2m2+2m+4), PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m, PDMN, 当PD=MN时,四边形MNPD为平行四边形,即-2m2+4m=,解得m1=(舍去),m2=,此时P点的坐标为, PN=,PNMN, 平行四边形MNPD不是菱形, 不存在点P,使四边形MNPD为菱形. (2)存在.如图2,OB=4,OA=2,则AB=2,图2,当x=1时,y=-2x+4=2,则P(1,2), PB=,设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4(a0), 把A(2,0)代入得4a+2b+4=0, 解得b=-2a-2, 抛物线的解析式为y=ax2-2(a+1)x+4, 当x=1时,y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a,则D(1,2-a),PD=2-a-2=-a, DCOB,DPB=OBA, 当=时,PDBBOA,即=,解得a=-2,此时抛物线解析式为y =-2x2+2x+4;,当=时,PDBBAO,即=,解得a=-,此时抛物线解析式为y=- x2+3x+4. 综上所述,满足条件的抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4或y=-x2+3x+4.,学法提点 此题看似是相似三角形的分类,其本质是直角三角形的分类,即BPD为直角三角的分类讨论,结合图形可知BPD不可能为直角,因此PBD,BDP为直角为此题的突破口.,考点三二次函数中的面积问题(5年2考) 二次函数与动点结合,用含变量的关系式表示图形的面积,进而确定图形面积的最值.,3.(2018遂宁)如图,已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交 于A,B两点(B点在A点右侧),与y轴交于C点. (1)求抛物线的解折式和A、B两点的坐标;,(2)若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),则是否存在一点P,使PBC的面积最大?若存在,请求出PBC的最大面积;若不存在,试说明理由.,解析(1)抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3, -=3,解得a=-, 抛物线的解析式为y=-x2+x+4. 当y=0时,-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=8, 点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0). (2)当x=0时,y=-x2+x+4=4,点C的坐标为(0,4). 设直线BC的解析式为y=kx+b(k0).,将B(8,0)、C(0,4)代入y=kx+b,得解得 直线BC的解析式为y=-x+4. 假设存在,设点P的坐标为,过点P作PDy轴,交直线BC于点 D,则点D的坐标为,如图所示.,PD=-x2+x+4-=-x2+2x, SPBC=PDOB=8=-x2+8x=-(x-4)2+16.,-10,当x=4时,PBC的面积最大,最大面积是16. 0x8,存在点P,使PBC的面积最大,最大面积是16.,学法提点 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积,解题的关键:(1)利用二次函数的性质求出a的值;(2)根据三角形的面积公式找出SPBC关于x的函数关系式.,类型一二次函数中的线段问题,研真题优易,例1(2018山西,23,13分)综合与探究 如图,抛物线y=x2-x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C, 连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PMx轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PEAC交x轴于点E,交BC于点F.,(1)求A,B,C三点的坐标; (2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由;,(3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值.,命题亮点 本题考查学生的推理能力,运算能力,几何直观能力等,试题开放且综合性强. 解题思路 用含变量的式子表示点的坐标,线段的长度,结合变量的取值范围,确定线段的最值.,开放解答 答案(1)由y=0,得x2-x-4=0, 解得x1=-3,x2=4. 点A,B的坐标分别为(-3,0),(4,0).,由x=0,得y=-4,点C的坐标为(0,-4). (2)点Q的坐标为或(1,-3). 详解:当CA=CQ时,如图1,图1,AC=5,BC=4, BQ=4-5. OB=OC,OCB=OBC=45. MQ=MB=4-, OM=OB-MB=,点Q的坐标为. 当AC=AQ时,如图2,AQC=ACQ,图2 ACO+OCB=QAB+QBA. OB=OC,OCB=OBC,ACO=QAM.,又AOC=QMA,AOCQMA, OC=AM=4,OA=QM=3, OM=1,点Q的坐标为(1,-3). 综上所述,点Q的坐标为或(1,-3). (3)解法一:如图3,过点F作FGPQ于点G,图3 则FGx轴. 由B(4,0),C(0,-4),得OBC为等腰直角三角形.,OBC=QFG=45. GQ=FG=FQ. PEAC,1=2. FGx轴,2=3.1=3. FGP=AOC=90, FGPAOC. =,即=. GP=FG=FQ=FQ.,QP=GQ+GP=FQ+FQ=FQ.FQ=QP. PMx轴,点P的横坐标为m, MBQ=45, QM=MB=4-m,PM=-m2+m+4. QP=PM-QM=-m2+m+4-(4-m)=-m2+m. QF=QP=-m2+m. -0,QF有最大值.,当m=-=2时,QF有最大值. 解法二:如图4, 点P的横坐标为m, 点P的坐标为,BM=4-m.,图4 BMQ是等腰直角三角形, BQ=BM=4-m.,PEAC, 2=1. 又PME=AOC=90, EMPAOC, =, =, 即EM=-m2+m+3.,BE=EM+MB=-m2-m+7. PEAC, BEFBAC, =, =, 即BF=-m2-m+4. QF=BF-BQ=-m2+m=-(m-2)2+.,-0, 当m=2时,QF有最大值,为.,类型二二次函数中的分类讨论问题,例2(2016山西,23,14分)综合与探究 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).,(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标; (2)试探究抛物线上是否存在点F,使FOEFCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,OPQ是等腰三角形.,命题亮点 本题考查学生的推理能力,运算能力,几何直观能力等,渗透分类讨论思想,试题开放且综合性强. 解题思路 通过对第(1)(2)问的分析,可以知OCE为等腰三角形,以此为突破口,构造一个与OCE相似的三角形,进而构造出等腰三角形OPQ.,开放解答 解析(1)抛物线y=ax2+bx-8经过点A(-2,0),D(6,-8),解得 抛物线的函数表达式为y=x2-3x-8. y=x2-3x-8=(x-3)2-, 抛物线的对称轴为直线x=3. 又抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0). 设直线l的函数表达式为y=kx(k0). 点D(6,-8)在直线l上,6k=-8,解得k=-. 直线l的函数表达式为y=-x. 点E为直线l和抛物线对称轴的交点, 点E的横坐标为3,纵坐标为-3=-4, 即点E的坐标为(3,-4). (2)抛物线上存在点F,使FOEFCE.,点F的坐标为(3-,-4)或(3+,-4). (3)解法一: 分两种情况:当OP=OQ时,OPQ是等腰三角形.,点E的坐标为(3,-4), OE=5. 过点E作直线MEPB,交y轴于点M,交x轴于点H, 则=. OM=OE=5. 点M的坐标为(0,-5). 设直线ME的函数表达式为y=k1x-5(k10). 3k1-5=-4,解得k1=.ME的函数表达式为y=x-5.,令y=0,得x-5=0,解得x=15.点H的坐标为(15,0). 又MHPB,=,即=,m=-. 当QO=QP时,OPQ是等腰三角形.,当x=0时,y=x2-3x-8=-8, 点C的坐标为(0,-8). CE=5. OE=CE.1=2. 又QO=QP,1=3. 2=3,CEPB. 设直线CE交x轴于点N,其函数表达式为y=k2x-8(k20), 3k2-8=-4,解得k2=.CE的函数表达式为y=x-8.,令y=0,得x-8=0.x=6.点N的坐标为(6,0). CNPB,=,=,解得m=-. 综上所述,当m的值为-或-时,OPQ是等腰三角形. 解法二:设抛物线的对称轴交直线PB于点M,与x轴交于点H.分两种情况: 当QO=QP时,OPQ为等腰三角形.,当x=0时,y=x2-3x-8=-8, 点C的坐标为(0,-8). 点E的坐标为(3,-4),OE=5, CE=5, OE=CE, 1=2. 1=3, 2=3, PBCE. 又HMy轴, 四边形PMEC是平行四边形.,EM=CP=-8-m. HM=HE+EM=4+(-8-m)=-4-m,BH=8-3=5. HMy轴, BHMBOP, =, =, m=-. 当OP=OQ时,OPQ为等腰三角形.,EHy轴, OPQEMQ, =,EQ=EM. EM=EQ=OE-OQ=OE-OP=5-(-m)=5+m. HM=4-(5+m)=-1-m. EHy轴, BHMBOP. =. =, m=-. 当m的值为-或-时,OPQ为等腰三角形.,(原创)综合与探究 如图,抛物线y=-x2+ax+b经过点A(1,0),B(5,0),与y轴交于点C,直线x=2,与x轴交于点F,与抛物线交于点D,点E与点D关于抛物线的对称轴对称. (1)请确定抛物线的表达式和点E的坐标; (2)连接CD,BD,BC,请求出BDC的面积; (3)点M是直线DF上的动点,点N是x轴上的动点,当以点M,N,E为顶点的三角形,是等腰直角三角形时,请直接写出点N的坐标.,解析(1)抛物线y=-x2+ax+b经过点A(1,0),B(5,0), 解得a=6,b=-5. 抛物线的表达式为y=-x2+6x-5. 将x=2代入表达式得D(2,3),且抛物线的对称轴为直线x=3, 点E与点D关于抛物线的对称轴对称,E(4,3). (2)将x=0代入y=-x2+6x-5得y=-5,C(0,-5), 设直线BC的表达式为y=kx+b(k0), 直线BC经过点B(5,0),C(0,-5),解得k=1,b=-5, y=x-5,将x=2代入得y=-3,直线BC与DF的交点G的坐标为(2,-3), =+=DGBF+DGOF=15. (3)(3,0)或(-3,0)或(5,0)或(-1,0).,命题点一二次函数中的线段问题,试真题练易,1.(2017山西,23,14分)综合与探究 如图,抛物线y=-x2+x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴 交于点C,连接AC,BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动,同时,点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动,连接PQ.过点Q作QDx轴,与抛物线交于点D,与BC交于点E.连接PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t0).,(1)求直线BC的函数表达式; (2)直接写出P,D两点的坐标(用含t的代数式表示,结果需化简);,在点P,Q运动的过程中,当PQ=PD时,求t的值; (3)试探究在点P,Q运动的过程中,是否存在某一时刻,使得点F为PD的中点.若存在,请直接写出此时t的值与点F的坐标;若不存在,请说明理由.,解析(1)令y=0,得-x2+x+3=0.解得x1=-3,x2=9, 点B的坐标为(9,0). 令x=0,得y=3, 点C的坐标为(0,3). 设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k0), 由B,C两点的坐标得解得 直线BC的函数表达式为y=-x+3.,(2)P,D. 过点P作PGx轴于点G,PHQD于点H.,QDx轴,四边形PGQH是矩形, HQ=PG.PQ=PD,PHQD, DQ=2HQ=2PG. P,D两点的坐标分别为-3,t,9-2t,-t2+t, -t2+t=2t, 解得t1=0(舍去),t2=,当PQ=PD时,t的值为. (3)存在.t=3,F.,命题点二二次函数中的分类讨论与图形面积问题,2.(2014山西,24,13分)综合与探究 如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是平行四边形,A,C两点的坐标分别为(4,0),(-2,3),抛物线W经过O,A,C三点,D是抛物线W的顶点. (1)求抛物线W的解析式及顶点D的坐标; (2)将抛物线W和OABC一起先向右平移4个单位后,再向下平移m(0m3)个单位,得到抛物线W和OABC.在向下平移的过程中,设OABC与OABC的重叠部分的面积为S,试探究:当m为何值时S有最大值,并求出S的最大值;,(3)在(2)的条件下,当S取最大值时,设此时抛物线W的顶点为F,若点M是x轴上 的动点,点N是抛物线W上的动点,试判断是否存在这样的点M和点N,使得以D,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.,解析(1)抛物线W过原点O(0,0),设抛物线W的解析式为y=ax2+bx(a0). 抛物线W经过A(4,0),C(-2,3)两点, 解得 抛物线W的解析式为y=x2-x. y=x2-x=(x-2)2-1,顶点D的坐标为(2,-1). (2)由OABC得,CBOA,CB=OA=4. 又C点的坐标为(-2,3),B点的坐标为(2,3).,如图,过点B作BEx轴于点E,由平移可知,点C在BE上,且BC=m.,BE=3,OE=2,EA=OA-OE=2. 设CB与BA交于点G,CO与x轴交于点H,CBx轴,BCGBEA. =,即=, CG=BC=m. 由平移知,OABC与OABC的重叠部分的四边形CHAG是平行四边形. S=CGCE=m(3-m)=-m2+2m=-+. -0,且0m3,当m=时,S有最大值为. (3)存在.点M的坐标分别为M1(0,0),M2(4,0),M3(6,0),M4(14,0).,
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