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第4节随机事件与概率,考试要求1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；4.会用频率估计概率.,知 识 梳 理,1.样本点和样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为_，记作；随机试验的所有样本点组成的集合称为_，记作.,样本点,样本空间,2.概率与频率,频率fn(A),3.事件的关系与运算,包含,AB,并事件,事件A发生,事件B发生,4.概率的几个基本性质,(1)概率的取值范围：_. (2)必然事件的概率P(E)1. (3)不可能事件的概率P(F)0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_. 若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)_.,0P(A)1,P(A)P(B),1P(B),微点提醒,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)事件发生的频率与概率是相同的.() (2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.() (3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0P(A)1.() (4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.() 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：,则样本数据落在区间10，40)的频率为() A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65,答案B,3.(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”() A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件 解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件. 答案C,4.(2019北京十八中月考)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是() A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 解析抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上5次是随机事件. 答案B,5.(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为() A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1(0.150.45)0.4. 答案B,考点一样本点与样本空间,【例1】 将一枚质地均匀的骰子相继投掷两次，请回答以下问题：,(1)写出样本点和样本空间； (2)用A表示随机事件“至少有一次掷出1点”，试用样本点表示事件A； (3)用Aj(j1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”；用B表示随机事件“第一次掷出1点”，试用随机事件Aj表示随机事件B.,解(1)首先确定样本点，用1，2，3，4，5，6表示掷出的点数，用(i，j)表示“第一次掷出i点，第二次掷出j点”，则相继投掷两次的所有可能结果如下： (1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6) (2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6) (3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6) (4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6) (5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6) (6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6),注意到(1，2)和(2，1)是不同的样本点，分别表示“第一次掷出1点，第二次掷出2点”和“第一次掷出2点，第二次掷出1点”这两个随机事件，因此样本空间共有36个样本点.把每个样本点称为基本事件.样本空间为,(3)Aj(1，j)，j1，2，3，4，5，6.因为这些事件任何一个发生事件B就发生，所以BA1A2A3A4A5A6.,规律方法1.在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间.关于样本空间的几点说明： (1)样本空间中的元素可以是数也可以不是数； (2)样本空间中的样本点可以是有限多个的，也可以是无限多个的.仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间； (3)建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型.因此，一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间H，T，它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型，又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.,【训练1】 写出下列随机试验的样本空间. (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和_. (2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数，_. 答案(1)3，4，5，18(2)10，11，12，,考点二随机事件的关系 【例2】 (1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”() A.是对立事件 B.是不可能事件 C.是互斥但不对立事件 D.不是互斥事件 (2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)P(B)1”，则甲是乙的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析(1)显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.,答案(1)C(2)A,规律方法1.准确把握互斥事件与对立事件的概念： (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.,【训练2】 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是() A. B. C. D. 解析从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数. 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数构成对立事件. 又中的事件可以同时发生，不是对立事件. 答案C,考点三随机事件的频率与概率 【例3】 (2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：,以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.,(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温低于20，则Y2006(450200)24504100； 若最高气温位于区间20，25)，则Y3006(450300)24504300； 若最高气温不低于25，则Y450(64)900， 所以，利润Y的所有可能值为100，300，900. Y大于零当且仅当最高气温不低于20，,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.,规律方法1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值. 2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率. 提醒概率的定义是求一个事件概率的基本方法.,【训练3】 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：,(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.,(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人， 故由调查结果得频率为,(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站. 由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5， P(A1)P(A2)，甲应选择L1. 同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9， P(B1)P(B2)，乙应选择L2.,考点四互斥事件与对立事件的概率 【例4】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：,求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)(一题多解)至少3人排队等候的概率.,解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC， 所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56. (2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF， 所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44. 法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G， 所以P(H)1P(G)0.44.,【训练4】 (一题多解)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.,解法一(利用互斥事件求概率) 记事件A1任取1球为红球，A2任取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，,根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得,(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为,法二(利用对立事件求概率) (1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为,(2)因为A1A2A3的对立事件为A4，,思维升华 1.随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件. 2.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 3.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生. 4.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.,易错防范 1.易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数. 2.正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 3.需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义.,
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