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1.3命题及其关系、充要条件,知识梳理,考点自诊,1.命题,真假,真,假,知识梳理,考点自诊,2.四种命题及其关系 (1)四种命题的表示及相互之间的关系,(2)四种命题的真假关系 互为逆否的两个命题(或). 互逆或互否的两个命题真假性.,等价 同真 同假,没有关系,知识梳理,考点自诊,3.充分条件、必要条件与充要条件的概念,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,知识梳理,考点自诊,1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4. 2.p是q的充分不必要条件,等价于 q是 p的充分不必要条件.其他情况依次类推. 3.集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件AB;p是q的必要不充分条件AB;p是q的充要条件A=B.,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)命题“若= ,则tan =1”的否命题是“若= ,则tan 1”. () (2)命题“若x2-3x+20,则x2或x1”的逆否命题是“若1x2,则x2-3x+20”. () (3)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关 () (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. () (5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同. (),知识梳理,考点自诊,A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,知识梳理,考点自诊,B,所以b=0,所以zR.故p1正确; p2:因为i2=-1R,而z=iR,故p2不正确; p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2R,而它们的实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确; p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.,知识梳理,考点自诊,4. 已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有() A.0个B.1个C.2个D.3个,B,解析:原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,故选B.,知识梳理,考点自诊,5.(2018河南郑州一模,3)下列说法正确的是() A.“若a1,则a21”的否命题是“若a1,则a21” B.“若am2bm2,则ab”的逆命题为真命题,D,解析:对于A,“若a1,则a21”的否命题是“若a1,则a21”,故A错; 对于B,“若am20时,3x4x,故C错.故选D.,考点1,考点2,考点3,命题及其相互关系 例1(1)已知原命题为“若 4,x-ay2,则() A.对任意实数a,(2,1)A B.对任意实数a,(2,1)A C.当且仅当a0时,(2,1)A D.当且仅当a 时,(2,1)A,A,D,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假? 解题心得1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提. 2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例即可. 3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是() A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 (2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是() A.真,假,真B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假,C,B,考点1,考点2,考点3,解析:(1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”. (2)先判断原命题:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,bR),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|= ,所以原命题为真,故其逆否命题为真;再判断其逆命题,取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B.,考点1,考点2,考点3,充分条件、必要条件的判断(多考向) 思考充分条件、必要条件的判断有哪几种方法? 考向1定义法判断 例2(2018北京,文4)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,B,考点1,考点2,考点3,考向2集合法判断 例3“x0”是“ln(x+1)0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:由ln(x+1)0可得0x+11,即-1x0, 而x|-1x0 x|x0, 所以“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件,故选B.,B,考点1,考点2,考点3,考向3等价转化法判断 例4(2018北京,理6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,C,解析：由ln(x+1)0可得0x+11,即-1x0,而x|-1x0 x|x0,所以“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件,故选B.,考点1,考点2,考点3,解题心得充要条件的三种判断方法: (1)定义法:根据pq,qp是否成立进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:一是指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充要条件为止;二是指根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)(2018浙江,6)已知平面,直线m,n满足m,n,则“mn”是“m”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)(2019河南洛阳高三期中,4)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是说两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知,p是q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (3)(2018河北唐山二模,3)设mR,则“m=1”是“f(x)=m2x+2-x”为偶函数的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,A,A,C,考点1,考点2,考点3,解析:(1)当m,n时,由线面平行的判定定理可知,mnm;但反过来不成立,即m不一定有mn,m与n还可能异面.故选A. (2)由p能推出q,反之不成立,所以p是q的充分不必要条件,故选A. (3)如果f(x)=m2x+2-x为偶函数,则f(-x)=f(x),即m2-x+2x=m2x+2-x, m(2-x-2x)=2-x-2x, (m-1)(2-x-2x)=0,m=1, “m=1”是“f(x)=m2x+2-x”为偶函数的充要条件.故选C.,考点1,考点2,考点3,充分条件、必要条件的应用,D,(1,2,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考如何求与充要条件有关的参数问题?如何证明一个命题是另一个命题的充要条件? 解题心得1.与充要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解. 2.充要条件的证明方法:在解答题中证明一个命题是另一个命题的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.,考点1,考点2,考点3,对点训练3已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若xP是xS的必要条件,则m的取值范围为.,0,3,解析:由x2-8x-200,得-2x10,即P=x|-2x10. 由xP是xS的必要条件,知SP,所以0m3. 经检验,m=0,m=3均符合题意. 故所求m的取值范围是0,3.,考点1,考点2,考点3,变式发散1本题条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件.,解 若xP是xS的充要条件,则P=S.,故不存在实数m,使xP是xS的充要条件.,考点1,考点2,考点3,变式发散2本题条件不变,若P是 S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.,解 由例题知P=x|-2x10, P是 S的必要不充分条件,考点1,考点2,考点3,1.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定. 2.充分必要关系的几种判断方法: (1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.,(3)集合间关系法:设A=x|p(x),B=x|q(x),利用集合A,B的关系来判断.,考点1,考点2,考点3,1.当一个命题中含有大前提时,其他三种命题也必须含有该大前提,也就是大前提不变. 2.在判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式. 3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.,思想方法等价转化思想在充要条件中的应用 等价转化是一种重要的数学思想,体现了“把未知问题化归到已有知识范围内求解”的求解策略.本节内容蕴含着丰富的等价转化思想,对于一个难以入手的命题,可以把命题转化为易于解决的等价命题,每一个等价命题都能提供一种解题思路.因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是等价转化的前提,同时也是灵活解题的基础.,分析先求出p,q对应不等式的解集,再利用p,q之间的关系列出关于m的不等式或不等式组得出结论.,反思提升本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是解此类问题的关键.,
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