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10.7离散型随机变量的均值 与方差,知识梳理,双击自测,1.离散型随机变量的均值 (1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为: 则称E(X)= 为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的. (2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=. (3)若X服从两点分布,则E(X)=; 若XB(n,p),则E(X)=.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,平均水平,aE(X)+b,p,np,知识梳理,双击自测,2.离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为,则(xi-E(X)2描述了xi(i=1,2,n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)= 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差,其算术平方根 为随机变量X的标准差. (2)D(aX+b)=a2D(X). (3)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). (4)若XB(n,p),则D(X)=np(1-p).,知识梳理,双击自测,1.已知随机变量X的分布列如下表,则E(X)=() A.0.4B.1.2C.1.6D.2,答案,解析,知识梳理,双击自测,2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=1,2,3,则D(3X+5)=() A.6B.9C.3D.4,答案,解析,知识梳理,双击自测,3.已知X的分布列为 设Y=2X+3,则E(Y)的值为() A.B.4C.-1D.1,答案,解析,知识梳理,双击自测,4.罐中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设X为取得红球的次数,则X的方差D(X)的值为(),答案,解析,知识梳理,双击自测,5.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=.,答案,解析,知识梳理,双击自测,自测点评 1.求离散型随机变量均值先要正确求出每个随机变量的概率,然后由公式求出均值. 2.D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散.,考点一,考点二,考点三,离散型随机变量的均值(考点难度),【例1】 (1)若随机变量的分布列如下,且满足E()=2,则E(a+b)的值为() A.0B.1 C.2D.无法确定,与a,b有关,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)已知随机变量的分布列如下: 则E()的最小值为,此时b=.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结求离散型随机变量均值的步骤: (1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值; (2)求X取每个值的概率; (3)写出X的分布列; (4)由均值定义求出E(X).,考点一,考点二,考点三,对点训练已知一个袋子中装有4个红球和2个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的,若从袋子中摸出3个球,记摸到的白球的个数为,则=1的概率是;随机变量的期望是.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,离散型随机变量的方差(考点难度) 【例2】 (1)(2017课标高考)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)= ,E(X)=1,则D(X)=(),答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小说明X的取值越集中在E(X)附近.统计中常用 来描述X的分散程度. 2.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量偏离均值的程度.它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)已知一个袋中装有大小相同的4个红球,3个白球,3个黄球.若任意取出2个球,则取出的2个球颜色相同的概率是;若有放回地任意取10次,每次取出一个球,每取到一个红球得2分,取到其他球不得分,则得分数X的方差为.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=() A.2B.3C.4D.5,答案,解析,考点一,考点二,考点三,离散型随机变量的均值和方差综合应用(考点难度) 【例3】 (1)已知随机变量的概率分布列为 则E()=,D()=.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)(2017浙江高考)已知随机变量满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2),答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.求离散型随机变量的均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差,按定义求解. (2)已知随机变量的均值、方差,求的线性函数=a+b的均值、方差,可直接用的均值、方差的性质求解. (3)如果所给随机变量服从二项分布,利用均值、方差公式求解. 2.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)设0p1,随机变量的分布列是 则当p在区间(0,1)内增大时() A.D()减小B.D()增大 C.D()先减小后增大D.D()先增大后减小,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)从4双不同的鞋子中任取4只,则其中恰好有一双的不同取法有种,记取出的4只鞋子中成双的鞋子对数为X,则随机变量X的数学期望E(X)=.,答案,解析,易错警示随机变量的均值与方差性质应用 掌握下述均值与方差有关性质,会给解题带来方便: (1)E(aX+b)=aE(X)+b,E(X+Y)=E(X)+E(Y),D(aX+b)=a2D(X); (2)若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).,【典例】 (2017浙江杭州模拟)设离散型随机变量X的分布列为 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则E(Y)=;D(Y)=. 答案:5.88.96 解析:E(X)=0+10.1+20.1+30.3+40.3=2.4,则D(X)=2.24. 所以E(Y)=2E(X)+1=5.8;D(Y)=22D(X)=8.96.,答题指导熟记离散型随机变量的均值和方差性质及其公式对提升解题效率和减少不必要的错误有重要意义.,对点训练已知随机变量X+=8,若XB(10,0.6),则E(),D()分别是() A.6,2.4B.2,2.4 C.2,5.6D.6,5.6,答案,解析,高分策略1.计算均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差,可直接用定义或公式求; (2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值及方差的性质求; (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),则可直接利用它们的均值、方差公式来求. 2.求均值与方差常用的结论 掌握下述有关结论,会给解题带来方便: (1)E(aX+b)=aE(X)+b, E(X+Y)=E(X)+E(Y), D(aX+b)=a2D(X); (2)若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).,3.(1)在实际中经常用均值来比较平均水平,当平均水平相近时,再用方差比较稳定程度;(2)注意离散型随机变量的均值、方差与样本数据的平均数、方差的区别与联系.,
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